Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
688 kez görüntülendi

İngilizce'den Türkçe'ye çevrilmiştir:

Kaynak:http://mathcontest.unm.edu/exams/2015-2016/round%201%20fall%202015%20questions.pdf

 $ f(x) = x^ 5 +x^4 +x^3 +x ^2 +x+ 1  $ ve  $g(x) = x^3 +x^2 −1 $ olsun.

Katsayıları tamsayı olan  q(x) ve  r(x)  polinomlarını bulunuz, öyle ki,

 f(x) = g(x).q(x) + r(x) ,   ve  r(x)  'in derecesi  3'ten az olsun.

 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.9k puan) tarafından  | 688 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x^3+x^2-1)(x^2+1)+x^2+x+2$ olduğundan $r(x)=x^2+x+2$ olur.

(19.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Kalanı kontrol eder misiniz?

Teşekkür ederim. Düzelttim.

Bence kontrol etttirmek yerine cevabı biliyorsanız cevabı verin. Yani doğru fikirli cevap vereni işlemlerle boğdurmaya gerek yok.  Genel yorumum.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
İfadeyi $$f(x)=x^2(x^3+x^2-1)+(x^3+x^2-1)+x^2+x+2$$ yani $$f(x)=(x^3+x^2-1)(x^2+1)+(x^2+x+2)=g(x)p(x)+r(x)$$ olarak yazabiliriz.

Ayrıca kalanı ve bölümü bulmak için $x^3+x^2=1$ eşitliği çok yardımcı oluyor verilen $f$ fonksiyonu için. Kolay bir soru olmuş.
(25.5k puan) tarafından 

Polinomun $ x^3+x^2-1$ 'e bölünebilmesi için bu ifade sıfıra eşitlenerek,

 yapılacak dönüşüm bulunur.

$ x^3+x^2-1=0 $ , buradan $ x^3+x^2=1  $ bulunur .

 $ x^3+x^2$ ifadesi yerine polinomda 1 yazılırsa, kalan bulunur.

$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

=$x^2(x^3+x^2)+ ( x^3+x^2)+x+1$

=$x^2. (1)+(1)+x+1=x^2+x+2 $ kalan fonksiyonu bulunmuş olur.

Bu yöntemi sıklıkla kullanıyoruz ama bunun ne kadar doğru olduğu tartışmalı değil mi? Mesela reel katsayılı ve reel değerli $P(x)=x^{10}+x+1 $ polinomunun $Q(x)=x^2+1$ ile bölümünden elde edilen kalanı bulmak için $P(x)$'de $x^2=-1$ yazıyoruz. Bir defa neden $Q(x)=0$ yapıyoruz. İkincisi $x^2=-1$ eşitliği reel sayılarda sağlanmaz. Peki bütün bunlara rağmen neden böyle bir işlem yapıyoruz?

Sayın Metok, burada denklem çözmüyoruz,x'in  reel yada karmaşık değerini  bulmuyoruz. Sadece dönüşüm yapıyoruz. Verdiğiniz örnekte x'i bulmaya gerek yok. x^2=-1 değerini (x^2)^5 +x+1 'de yerine koyup kalanı buluyoruz. Kalan=(-1)^5+x+1=x, Uzun bölme yapılırsa bu kalan bulunur.

İstediğim cevap tam olarak bu değil. Yazdıklarınızı ben de biliyorum. Ve hatta çoğu kez de uyguluyoruz. Ama bu yaklaşımın, yaptıklarımızın matematiksel olarak doğru olmadığını düşünüyorum.

Sadece $\mathbb Z[x]$ (ya da $\mathbb R[x]$) uzerinde moduler aritmetik yapiyoruz. Bu da polinom bolmesinde kalana denk geliyor. $x^2 \equiv -1 \mod (x^2+1)$ yazimi dogru olan. Fakat pratik olarak sanki esitmis gibi goruyoruz.
20,261 soru
21,785 cevap
73,460 yorum
2,361,011 kullanıcı