Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

P(X) başkatsayısı 1 olan 2.dereceden reel katsayılı bir polinomdur.P(P(x))=0 denkleminin farklı 3 reel kökü vardır.Bu şartları sağlayan polinomlar içinden kökleri toplamı maksimum olan P(x) için P(1) kaçtır?

 

Şu şekilde düşündüm fakat daha fazla ilerleyemedim :

 

 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (18 puan) tarafından  | 1.3k kez görüntülendi
Yazdıklarını doğru anladım mı emin değilim ama $p(p(x))$ demek $p$'nin içine $p$'yi yaz demek. Mesela $p(x)= x^2+2$ ise $p(p(x)) = (x^2+2)^2 + 2 = x^4 + 4x^2 +6$ olur. Sen $p(x)$'in karesini almışsın anladığım kadarıyla.
kökleri toplamı maksimum olan polinom derken neyi kastettiğini anlayamadım türev mi kullanıcaz yoksa p yerine değer mi deneyeceğiz
p(x) içine p(x)i yazdım zaten sadece farkli bi formla yazdim içine
Üç kökünün olması tepe noktasındaki görüntünün köklerden küçük olana eşit olması demek.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

P(P(x)) in 3 reel kökü olması için P(x) in a ve -b diye 2 farklı reel kökü olsun diye düşündüm a ve b pozitif reel sayı olmak üzere parabolün tepe noktası -b olmalıdır.

Sonra tepe noktasını kullanarak P(x) =(x-a) .(x+b) olduğundan x=(a-b)/2 yazınca (a+b)²=4b  a+b=2√b a yı yalnız bırakınca

P(x)=x²-(2√b-2b)x+b²-2b√b oldu.

kökler toplamının maksimum değerini bulmak için türev alınca 1/√b -2=0 dan b=1/4 için maksimum olduğunu bulabiliriz. a=3/4 olur.

P(x)=x²-1/2×-3/16 

P(1)=5/16

Hata yoksa böyle çözdüm.

(20 puan) tarafından 
evet bende farkettim teşekkürlerr eşitsizliğe hiç gerek yokmuş aslında x1 ile x2 arasında bulduğum eşitlikten direkt halloluyormuş peki şu yorumu nasıl direkt yaptın  "P(P(x)) in 3 reel kökü olması için P(x) in a ve -b diye 2 farklı reel kökü olsun diye düşündüm a ve b pozitif reel sayı olmak üzere parabolün tepe noktası -b olmalıdır."
Mesela Delta=0 alırsan 2 kök gelir çünkü sadece var olan 1 köke P(P(x)) te 2 adet sayı denk gelir. veya her 2 kökü de pozitif tarafta birbirinden farklı olarak alırsan bu iki köke ulaşan 4 sayı P(P(x)) te kök olur. Bu sebeple 1 adet köke 1 sayı denk gelmesi için bu kökü tepe noktasının ordinatı olarak kabul ettim. (diğer pozitif köke 2 sayı denk gelecek ve toplamda 3 kök olucak.)
1 beğenilme 0 beğenilmeme
$ P(x) $ in gerçel kökü yoksa, $ P(P(x)) $ in hiç gerçel kökü olamayacağı kolay.
    Öyleyse, @weierstrass ın başladığı gibi,  $ P(x)=(x-x_1)(x-x_2) $ olsun.
    $ P(P(x))=(P(x)-x_1)(P(x)-x_2) $ olur.
    Bu çarpanların (her ikisi de 2. derece) ortak kökü olmayacağını ($ P(P(x)) $ in 3 farklı kökü oluşundan) görmek zor değil.
    Öyleyse, @weierstrass ın de yaptığı gibi, birinci çarpan için $ \Delta=0 $, 2. çarpan için $ \Delta>0 $ varsayabiliriz.
    Bunlar bize, $ x_1<x_2 $ olduğunu da söyler.
    $ (x_1+x_2)^2=4(x_1x_2-x_1) $ olur. Düzenlenirse,
    $ (x_1-x_2)^2=-4x_1 $ olur. Buradan, $ x_1<0 $ olduğunu görürüz.
    Bu eşitliği, $ x_2 $ için çözersek, ($ x_1<x_2 $ idi) $ x_2=x_1+2\sqrt{-x_1} $ bulunur.
    $ x_1+x_2=2(x_1+\sqrt{-x_1}) $ olur.
    $x_1<0$ iken bu ifadeyi, $x_1=-\frac14$ maksimum yapar.
    $x_2=\frac34$ olur ve @Vezirh5 in çözümünü doğrular (orada, köklerin birinin pozitif, diğerinin negatif olması açıklanmamış, ama çözüm sırasında kullanılmış).
(6.1k puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi
Ben bu çözümü yaparken, önceleri, $x_1>x_2$ zannedip, soruda bir hata var diye düşünmüştüm :-(

@Sercan ın güzel geometrik gözlemi, çözümü biraz kolaylaştırıyor. Ben onu kullanmadan çözmek istedim.
20,203 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,891,185 kullanıcı