Toplam formülüne dayalı bir polinom sorusu.

Question

$p(x)=1+3x+5x^2+7x^3+...+53x^{26}$ ise bu polinomun $x-3$ ile bölümünden kalan sayı kaçtır?

Toplam formülünü nasıl elde edebiliriz? Tek sayıların ve ardışık dereceleri artan terimler toplamını bir şekilde birleştirerek mi yoksa bambaşka bir şekilde mi?

Not: Sondaki üs 26.

Answer 1

Polinomun  ilk üç terimini   $x=3$  için hesaplayalım: $$1+3x+5x^2=1+2.3^3$$ buna dördüncü terimi ekleyelim: $$1+3x+5x^2+7x^3=1+3.3^4$$ buna beşinci terim eklenirse $1+4.3^5$ bulunur. 

Bu şekilde devam edilirse $$P(3)=1+26.3^{27}$$   olmalıdır. 

Comments

Şıklarda sayı şu şekilde, $3^{30}

-3^{27}-1$,verilmiş fakat çözüm doğru teşekkürler.

Answer 2

Veya $P(x)$ polinomunu  $x$ ile çarpılıp $Q(x) =P(x) - xP(x)$   polinomundan da çözüme gidilebilir. 

Answer 3

Kısa değil ama şöyle yapılabilir:

$p(3)$ ü bulmalıyız.

$p(x)=(1+x+x^2+\cdots+x^{26})+2x(1+2x+3x^2+\cdots+26x^{25})$

Birinci Terimi hesaplamak kolay (geometrik toplam). 

İkinci terim için

$\begin{align*}1+2x+3x^2+\cdots+26x^{25}=&1+x+x^2+\cdots+x^{25} \\&+x(1+x+\cdots+x^{{24}})\\&+x^2(1+\cdots+x^{23})\\&\vdots\\&+x^{25}(1)\\&=\dfrac{x^{26}-1}{x-1}+x\dfrac{x^{25}-1}{x-1}+\cdots +x^{25}\dfrac{x-1}{x-1}\\&=\dfrac{26x^{26}-(1+x+\cdots+x^{25})}{x-1}\end{align*}$

gerisini yapabilmelisin.

(Türev kullanarak daha kolay bulunabiliyor)