Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
9.6k kez görüntülendi

$n\in\mathbb{N}$ ve $a\in\mathbb{R}$ olsun. O zaman ($a\neq1$ için)

$1+a^1+a^2+\cdots+a^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n a^k=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$ olduğunu biliyoruz. Klasikleşmiş denilebilecek ispatıda şöyle:

$1+a+a^2+\cdots+a^n=T$ olsun. Denklemi $a$ ile çarparsak

$a+a^2+a^3+\cdots+a^{n+1}=aT$ olur. Denklemleri taraf tarafa çıkartalım.

$1-a^{n+1}=T(1-a)$ 

$T=\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$ bulunur.

Burdaki ispat dışında kanıtlamak için izleyebileceğimiz yöntemler var mı?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (194 puan) tarafından  | 9.6k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Tümevarım yöntemiyle gösterelim..

$P(n)=1+a+a^2+a^3+\cdots+a^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n a^k=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$ oldugunu tümevarım ispat yöntemiyle gösterelim..

$n=1$ için $1+a+a^2+a^3+......+a^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n a^k=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$ doğrudur.(İstersen dene)

$n=t$ için $P(t)=1+a+a^2+a^3+\cdots+a^t=\displaystyle\sum_{k=0}^t a^k=\dfrac{a^{t+1}-1}{a-1}$ önermesinin doğru olduğunu kabul edelim..

$n=t+1$ için, $P(t+1)=1+a+a^2+a^3+\cdots+a^t+a^{t+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1} a^k=\dfrac{a^{t+2}-1}{a-1}$ olduğunu gösterelim..


$1+a+a^2+a^3+\cdots+a^t=\displaystyle\sum_{k=0}^t a^k=\dfrac{a^{t+1}-1}{a-1}$ eşitliğin her iki tarafına $a^{t+1}$ ekleeyelim

$1+a+a^2+a^3+\cdots+a^t+a^{t+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1} a^k=\dfrac{a^{t+1}-1}{a-1}+a^{t+1}$ buradaki işlemi denediğin zaman doğru olduğunu görebilirsin ... o halde $P(t+1)$ doğru olduğundan $P(n)$ önermesi doğru olur.
(467 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Kucuk bir hata var gibi. Sence bu dogru mu?

image

Herkesten kaçar Euler den kaçmaz ...yanlış,  düzeltiyorum teşekkürler.

20,210 soru
21,735 cevap
73,302 yorum
1,908,849 kullanıcı