Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
25.3k kez görüntülendi


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 25.3k kez görüntülendi

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Konu hakkında verilebilecek birkaç ispat mevcut:

Öncelikli olarak tek sayıların toplamını kullanarak bulalım.

$k^2=1+3+5+...+(2k-1)$ olduğundan

$1^2=1 \\ 2^2=1+3 \\ 3^2=1+3+5 \\ ... \\ n^2=1+3+5+...+(2n-1)$

Taraf tarafa toplama yapalım.

$S=\sum_{k=1}^{n}k(2n-2k+1)=\sum_{k=1}^{n}2nk-\sum_{k=1}^{n}2k^2+\sum_{k=1}^{n}k \\ 3S=(2n+1)\sum_{k=1}^{n}k$

$k$ toplam $\frac{n(n+1)}{2}$ olduğuna göre,

$3S=(2n+1) \frac{n(n+1)}{2} \\ S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$'dır.

(4.6k puan) tarafından 

Hocam taraf tarafa toplama yaptıktan sonrasını anlayamadım ? Ne ara 3 ile çarptık ? k neyi ifade ediyor ?  Biraz daha düzgün açıklayabilir misiniz ? Şimdiden iyi bayramlar dilerim.

Sağ taraftaki $-\sum_{k=1}^{n}2k^2$ ifadesi $-2S$ olduğundan ve sol tarafa geçirildiğinde $3S$ toplamı sağda olur.

$k$, toplamın değişkenidir.

$\sum_{k=1}^n k$ ifadesi, 1'den $n$'e kadar olan sayıların toplamıdır.

Hocam S= sonrasındaki toplam formülünn nasil ortaya çıktığını çözemedim. yani k•(2n-2k+1) nasil olusturuluyor?

1 beğenilme 0 beğenilmeme

İkinci bir yöntem de küp toplamdan çıkarılıyor:

$(1-0)+(8-1)+(27-8)+(64-27)+...+(n^3-(n-1)^3)=n^3$'tür.

Son terimi açalım: $n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1$ (I)

$n^2$ için de $n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1$ (II)

(I) nolu eşitlikten $n^2$, (II) nolu eşitlikten $n$'yi çözerek,

$n^2=\frac{n^3-(n-1)^3+3n-1}{3}$ (III)

$n=\frac{n^2-(n-1)^2+1}{2}$ (IV)

(IV)'ü (III)'ün sağına yerleştirirsek,

$n^2=\frac{n^3-(n-1)^3+3\frac{n^2-(n-1)^2+1}{2}-1}{3}=\frac{n^3-(n-1)^3}{3}+\frac{n^2-(n-1)^2}{2}+\frac{1}{6}$

Her iki tarafın toplamını alalım:

$\sum_{n=1}^{m}n^2=\sum_{n=1}^{m} \left( \frac{n^3-(n-1)^3}{3}+\frac{n^2-(n-1)^2}{2}+\frac{1}{6} \right)$

Sağ taraftaki birinci toplam $m^3$, ikinci toplam $m^2$'dir.

$\sum_{n=1}^{m}n^2=\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6}=\frac{2m^3+3m^2+m}{6}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$

(4.6k puan) tarafından 

Hocam bunu anladım ancak bir önceki ispatı yukarıda da belirttiğim gibi anlamadım.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Değişik yöntemler var. Biz şöyle yapalım Mete.

$T_n, \,\,\ 1$'den $n$'ye kadar sayıların toplamını; $K_n$ de $1$'den $n$'ye kadar sayıların kareleri toplamını göstersin. Bu durumda 

$$T_1=1, \,\ T_2=3, \,\ T_3=6, \,\ T_4=10, \,\ T_5=15 \ldots$$ ve

$$K_1=1, \,\ K_2=5, \,\ K_3=14, \,\ K_4=30, \,\ K_5=55 \ldots$$

olur. Şimdi şu oranlara bir bakalım.

$$\frac{T_1}{K_1}=1=\frac{3}{3}$$

$$\frac{T_2}{K_2}=\frac{3}{5}$$

$$\frac{T_3}{K_3}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$$

$$\frac{T_4}{K_4}=\frac{10}{30}=\frac{3}{9}$$

$$\frac{T_5}{K_5}=\frac{15}{55}=\frac{3}{11}$$

$$\vdots$$

$$\frac{T_k}{K_k}=\frac{3}{2k+1}$$

olacağını görmek zor olmasa gerek. O halde

$$\frac{T_n}{K_n}=\frac{3}{2n+1}$$

$$\Rightarrow$$

$$ \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{K_n}=\frac{3}{2n+1}$$

$$\Rightarrow$$

$$K_n=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\frac{2n+1}{3}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ bulunur. Bu bulduğumuz sonucun bütün $n$ doğal sayıları için doğru olduğu tümevarım yöntemi ile gösterilebilir. Bu kısmını da sana bırakıyorum.

(11.4k puan) tarafından 

Çok teşekkür ederim. İyi bayramlar dilerim.

20,200 soru
21,728 cevap
73,277 yorum
1,888,022 kullanıcı