Polinom Maksimum Sorusu

Question

P(X) başkatsayısı 1 olan 2.dereceden reel katsayılı bir polinomdur.P(P(x))=0 denkleminin farklı 3 reel kökü vardır.Bu şartları sağlayan polinomlar içinden kökleri toplamı maksimum olan P(x) için P(1) kaçtır?

 

Şu şekilde düşündüm fakat daha fazla ilerleyemedim :

 

 

Comments

Yazdıklarını doğru anladım mı emin değilim ama $p(p(x))$ demek $p$'nin içine $p$'yi yaz demek. Mesela $p(x)= x^2+2$ ise $p(p(x)) = (x^2+2)^2 + 2 = x^4 + 4x^2 +6$ olur. Sen $p(x)$'in karesini almışsın anladığım kadarıyla.

---

kökleri toplamı maksimum olan polinom derken neyi kastettiğini anlayamadım türev mi kullanıcaz yoksa p yerine değer mi deneyeceğiz

---

p(x) içine p(x)i yazdım zaten sadece farkli bi formla yazdim içine

---

Üç kökünün olması tepe noktasındaki görüntünün köklerden küçük olana eşit olması demek.

Answer 1

P(P(x)) in 3 reel kökü olması için P(x) in a ve -b diye 2 farklı reel kökü olsun diye düşündüm a ve b pozitif reel sayı olmak üzere parabolün tepe noktası -b olmalıdır.

Sonra tepe noktasını kullanarak P(x) =(x-a) .(x+b) olduğundan x=(a-b)/2 yazınca (a+b)²=4b  a+b=2√b a yı yalnız bırakınca

P(x)=x²-(2√b-2b)x+b²-2b√b oldu.

kökler toplamının maksimum değerini bulmak için türev alınca 1/√b -2=0 dan b=1/4 için maksimum olduğunu bulabiliriz. a=3/4 olur.

P(x)=x²-1/2×-3/16 

P(1)=5/16

Hata yoksa böyle çözdüm.

Comments

evet bende farkettim teşekkürlerr eşitsizliğe hiç gerek yokmuş aslında x1 ile x2 arasında bulduğum eşitlikten direkt halloluyormuş peki şu yorumu nasıl direkt yaptın  "P(P(x)) in 3 reel kökü olması için P(x) in a ve -b diye 2 farklı reel kökü olsun diye düşündüm a ve b pozitif reel sayı olmak üzere parabolün tepe noktası -b olmalıdır."

---

Mesela Delta=0 alırsan 2 kök gelir çünkü sadece var olan 1 köke P(P(x)) te 2 adet sayı denk gelir. veya her 2 kökü de pozitif tarafta birbirinden farklı olarak alırsan bu iki köke ulaşan 4 sayı P(P(x)) te kök olur. Bu sebeple 1 adet köke 1 sayı denk gelmesi için bu kökü tepe noktasının ordinatı olarak kabul ettim. (diğer pozitif köke 2 sayı denk gelecek ve toplamda 3 kök olucak.)

Answer 2

$P(x)$ in gerçel kökü yoksa, $P(P(x))$ in hiç gerçel kökü olamayacağı kolay.
    Öyleyse, @weierstrass ın başladığı gibi,  $P(x)=(x-x_1)(x-x_2)$ olsun.
    $P(P(x))=(P(x)-x_1)(P(x)-x_2)$ olur.
    Bu çarpanların (her ikisi de 2. derece) ortak kökü olmayacağını ($P(P(x))$ in 3 farklı kökü oluşundan) görmek zor değil.
    Öyleyse, @weierstrass ın de yaptığı gibi, birinci çarpan için $\Delta=0$, 2. çarpan için $\Delta>0$ varsayabiliriz.
    Bunlar bize, $x_1<x_2$ olduğunu da söyler.
    $(x_1+x_2)^2=4(x_1x_2-x_1)$ olur. Düzenlenirse,
    $(x_1-x_2)^2=-4x_1$ olur. Buradan, $x_1<0$ olduğunu görürüz.
    Bu eşitliği, $x_2$ için çözersek, ($x_1<x_2$ idi) $x_2=x_1+2\sqrt{-x_1}$ bulunur.
    $x_1+x_2=2(x_1+\sqrt{-x_1})$ olur.
    $x_1<0$ iken bu ifadeyi, $x_1=-\frac14$ maksimum yapar.
    $x_2=\frac34$ olur ve @Vezirh5 in çözümünü doğrular (orada, köklerin birinin pozitif, diğerinin negatif olması açıklanmamış, ama çözüm sırasında kullanılmış).

Comments

Ben bu çözümü yaparken, önceleri, $x_1>x_2$ zannedip, soruda bir hata var diye düşünmüştüm :-(

@Sercan ın güzel geometrik gözlemi, çözümü biraz kolaylaştırıyor. Ben onu kullanmadan çözmek istedim.