Topolojik uzay ve yakınsaklık

Question

$X=\{a,b,c,d\}$ kümesi ve bu küme üzerinde $S=\{\{b,c,d\},\{a,b,d\},\{a,b\}\}$ kümeler ailesi veriliyor. $S$'nin $X$ üzerinde $\tau$ topolojisini bulunuz. $\tau$ topolojisine göre $(x_n)=(b,d,b,d,b,d,...)$ dizisinin yakınsak olup olmadığını belirleyiniz. Eğer yakinsak ise hangi noktalara yakinsadigini bulunuz.

Soru ici buldugum topoloji $\tau=\{ \varnothing,X, \{b\},\{b,d\},\{a,b,d\},\{b,c,d\},\{a,b\}\}$ 

Comments

Bu soruda buldugum topoloji $\tau=\{ \varnothing,X, \{b\},\{b,d\},\{a,b,d\},\{b,c,d\},\{a,b\}\}$ idi. Hatam var mi diye soru ekleyeyim birde ?

---

Yorum yerine icerige eklersen daha etkili olur gibi.

---

Dizinin bir noktaya yakınsaması demek o noktanın her komşuluğu için dizinin terimlerinin belirli bir indisten sonra o komşulukta kalması demek.

İpucu: d noktasının komşuluklarına bakın.

Answer 1

$X=\{a,b,c,d\}$ olmak üzere önce $$\mathcal{S}=\{\{b,c,d\},\{a,b,d\},\{a,b\}\}$$ ailesinin doğurduğu topolojiyi bulalım.

$\mathcal{S}$ ailesinin doğurduğu topolojiyi $$\tau=\langle\mathcal{S}\rangle$$ ile gösterirsek

$$\tau=\langle\mathcal{S}\rangle=\left\{\bigcup\mathcal{B}^*\Big{|}\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}= \left\{\bigcap\mathcal{S}^*\Big{|}\mathcal{S}^*\subseteq\mathcal{S},|\mathcal{S}^*|<\aleph_0\right\}\right\}$$ olacaktır. Önce $\mathcal{B}$ ailesini bulalım.

$$\mathcal{B}= \left\{\bigcap\mathcal{S}^*\Big{|}\mathcal{S}^*\subseteq\mathcal{S},|\mathcal{S}^*|<\aleph_0\right\}$$

$$\Rightarrow$$

$$\mathcal{B}= \left\{\{b,c,d\},\{a,b,d\},\{a,b\},X,\{b,d\},\{b\}\right\}$$ Şimdi de topolojiyi bulalım.

$$\tau=\left\{\bigcup\mathcal{B}^*\Big{|}\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}\right\}$$

$$\Rightarrow$$

$$\tau=\langle\mathcal{S}\rangle= \left\{\{b,c,d\},\{a,b,d\},\{a,b\},X,\{b,d\},\{b\},\emptyset\right\}$$

olacaktır.

Yakınsaklık için ipucu:

$\langle x_n\rangle \in X^{\mathbb{N}}$ ve $x\in X$ olmak üzere

$$x_n\to x:\Leftrightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))(\exists n_0\in\mathbb{N})(n\geq n_0\Rightarrow x_n\in U)$$

$$\langle x_n\rangle \text{ yakınsak}:\Leftrightarrow (\exists x\in X)(x_n\to x)$$