Tanım: (xn)n∈RN ve x∈R olsun.
xn→x:⇔(∀ϵ>0)(∃K∈N)(n≥K→|xn−x|<ϵ)
xn↛
Tanım: (x_n)_n\in\mathbb{R}^\mathbb{N} olsun.
(x_n)_n, \text{ yakınsak}:\Leftrightarrow (\exists x\in\mathbb{R})(x_n\to x)
\begin{array}{rcl} (x_n)_n, \text{ ıraksak} & :\Leftrightarrow & (x_n)_n, \text{ yakınsak değil} \\ \\ & \Leftrightarrow & [(\exists x\in\mathbb{R})(x_n\to x)]' \\ \\ & \Leftrightarrow & (\forall x\in\mathbb{R})(x_n\nrightarrow x)\end{array}
Şimdi bu bilgiler ışığında tekrar soruya dönecek olursak ((-1)^n)_n dizisinin yakınsak olmadığını söylemek için (\forall x\in\mathbb{R})((-1)^n\nrightarrow x) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Bunun için 2 durum inceleyeceğiz.
I. durum: x<0 olsun.
Bu durumda \epsilon=1 alınırsa her K\in\mathbb{N} için n:=2K\geq K \wedge |(-1)^n-x|=1-x\geq 1=\epsilon koşulu sağlanır. Dolayısıyla x<0 için (-1)^n\nrightarrow x elde edilir \ldots (1)
II. durum: x\geq 0 olsun.
Bu durumda \epsilon=1 alınırsa her K\in\mathbb{N} için n:=2K+1\geq K \wedge |(-1)^n-x|=x+1\geq 1=\epsilon koşulu sağlanır. Dolayısıyla x\geq 0 için (-1)^n\nrightarrow x elde edilir \ldots (2)
O halde (1),(2)\Rightarrow (\forall x\in \mathbb{R})((-1)^n\nrightarrow x) elde edilir. Bu da ıraksak dizi tanımı gereği ((-1)^n)_n dizisinin yakınsak olmadığı anlamına gelir.