Question

$((-1)^n)_n$ dizisinin yakınsak olmadığını (yakınsaklık tanımdan hareketle) gösteriniz.

Answer 1

Tanım: $(x_n)_n\in\mathbb{R}^\mathbb{N}$  ve  $x\in \mathbb{R}$ olsun.

$$x_n\to x:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists K\in \mathbb{N})(n\geq K\rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

$$x_n\nrightarrow x:\Leftrightarrow (\exists \epsilon>0)(\forall K\in \mathbb{N})(n\geq K\wedge |x_n-x|\geq \epsilon)$$

 

Tanım: $(x_n)_n\in\mathbb{R}^\mathbb{N}$  olsun.

$$(x_n)_n, \text{ yakınsak}:\Leftrightarrow (\exists x\in\mathbb{R})(x_n\to x)$$

$$\begin{array}{rcl} (x_n)_n, \text{ ıraksak} & :\Leftrightarrow & (x_n)_n, \text{ yakınsak değil}  \\ \\ & \Leftrightarrow & [(\exists x\in\mathbb{R})(x_n\to x)]' \\ \\ & \Leftrightarrow & (\forall x\in\mathbb{R})(x_n\nrightarrow x)\end{array}$$

Şimdi bu bilgiler ışığında tekrar soruya dönecek olursak $((-1)^n)_n$ dizisinin yakınsak olmadığını söylemek için $$(\forall x\in\mathbb{R})((-1)^n\nrightarrow x)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Bunun için 2 durum inceleyeceğiz.

 

I. durum: $x<0$ olsun.

Bu durumda $\epsilon=1$ alınırsa her $K\in\mathbb{N}$ için $$n:=2K\geq K \wedge |(-1)^n-x|=1-x\geq 1=\epsilon$$ koşulu sağlanır. Dolayısıyla $x<0$ için $(-1)^n\nrightarrow x$ elde edilir $\ldots (1)$

 

II. durum: $x\geq 0$ olsun.

Bu durumda $\epsilon=1$ alınırsa her $K\in\mathbb{N}$ için $$n:=2K+1\geq K \wedge |(-1)^n-x|=x+1\geq 1=\epsilon$$ koşulu sağlanır. Dolayısıyla $x\geq 0$ için $(-1)^n\nrightarrow x$ elde edilir $\ldots (2)$

O halde $$(1),(2)\Rightarrow (\forall x\in \mathbb{R})((-1)^n\nrightarrow x)$$ elde edilir. Bu da ıraksak dizi tanımı gereği $((-1)^n)_n$ dizisinin yakınsak olmadığı anlamına gelir.