Processing math: 12%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
271 kez görüntülendi
((1)n)n dizisinin yakınsak olmadığını (yakınsaklık tanımdan hareketle) gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 271 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: (xn)nRN  ve  xR olsun.

xnx:⇔(ϵ>0)(KN)(nK|xnx|<ϵ)

xn

 

Tanım: (x_n)_n\in\mathbb{R}^\mathbb{N}  olsun.

(x_n)_n, \text{ yakınsak}:\Leftrightarrow (\exists x\in\mathbb{R})(x_n\to x)

\begin{array}{rcl} (x_n)_n, \text{ ıraksak} & :\Leftrightarrow & (x_n)_n, \text{ yakınsak değil}  \\ \\ & \Leftrightarrow & [(\exists x\in\mathbb{R})(x_n\to x)]' \\ \\ & \Leftrightarrow & (\forall x\in\mathbb{R})(x_n\nrightarrow x)\end{array}

Şimdi bu bilgiler ışığında tekrar soruya dönecek olursak ((-1)^n)_n dizisinin yakınsak olmadığını söylemek için (\forall x\in\mathbb{R})((-1)^n\nrightarrow x) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Bunun için 2 durum inceleyeceğiz.

 

I. durum: x<0 olsun.

Bu durumda \epsilon=1 alınırsa her K\in\mathbb{N} için n:=2K\geq K \wedge |(-1)^n-x|=1-x\geq 1=\epsilon koşulu sağlanır. Dolayısıyla x<0 için (-1)^n\nrightarrow x elde edilir \ldots (1)

 

II. durum: x\geq 0 olsun.

Bu durumda \epsilon=1 alınırsa her K\in\mathbb{N} için n:=2K+1\geq K \wedge |(-1)^n-x|=x+1\geq 1=\epsilon koşulu sağlanır. Dolayısıyla x\geq 0 için (-1)^n\nrightarrow x elde edilir \ldots (2)

O halde (1),(2)\Rightarrow (\forall x\in \mathbb{R})((-1)^n\nrightarrow x) elde edilir. Bu da ıraksak dizi tanımı gereği ((-1)^n)_n dizisinin yakınsak olmadığı anlamına gelir. 

(11.5k puan) tarafından 
((-1)^n)_n dizisinin Cauchy dizisi olmadığını Cauchy dizisi tanımından hareketle gösteriniz.
20,300 soru
21,842 cevap
73,542 yorum
2,743,169 kullanıcı