Kuvvet kümesi

Question

$A$ ve $B$ iki küme olsun. 

Notasyon: $ A=_{c} B$ yazalım eğer $ A $ ve $ B $ eşsayılı iseler. 

$P(X)$ $=$ $\{ Y  | Y \subseteq X \}$ olsun.

$ A =_{c} B \Leftrightarrow P(A) =_{c} P(B)$  

Soldan sağa kısmını yapabildim. Sağdan sola doğru mudur?

Comments

 $A=_c B \Leftrightarrow P(a)=_c P(B)$ olmalı herhalde.

---

Evet Doğan hocam düzeltmeyi yaptım

---

(Küme eşitliği için) ipucu: tek elemanli alt kumelerini dusunebilirsin.

---

Sanırım sorunun değiştirilmeden önceki hali için geçerliydi bu ipucu.

---

Elementer küme teorisine göre cevapladım. İleri kısmı bende yok. 

---

Yok ipucunu anlamadığım için böyle yazdım. Tek elemanlı alt kümelerini düşünerek ifadenin doğruluğunu mu kanıtlamaya çalışıyordun?

---

Kümelerin eşit olduğunu göstermemiz isteniyor. Tek elemanlı alt kümeler arasında eşleşme olacağından kümeler de aynı olmalı.

---

Hayır, elimizdeki veri sadece kuvvet kümelerinin arasında bir eşleme olduğu. Kuvvet kümeleri arasındaki eşleme tek elemanlı alt kümeleri tek elemanlı alt kümelere götürmek zorunda değil.

---

Haklısın. Küme eşitliği ile eşsayı eşitligini karıştırmışım.

Answer 1

Bahsedilen önerme ZFC kümeler kuramı belitlerinden bağımsızdır. Dolayısıyla doğru ya da yanlış olduğu bu belitler altında kanıtlanamaz.

Genelleştirilmiş süreklilik hipotezi altında doğrudur zira $|A| \neq |B|$ ise genelliği bozmadan $|A| < |B|$ olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda $|\mathcal{P}(A)|=|A|^+ \leq |B| < |B|^+=|\mathcal{P}(B)|$ olacaktır.

Öte yandan Martin'in beliti + süreklilik hipotezinin değili altında yanlıştır. Zira bu durumda $\omega < \omega_1$ olduğu halde $|\mathcal{P}(\omega)|=|\mathcal{P}(\omega_1)|$ olur. (Bunun kanıtını mesela şu kitapta Teorem 2.18'de bulabilirsin.)

Bu varsayımların ikisinin de ayrı ayrı ZFC ile tutarlı olduğu da zorlama tekniği kullanılarak gösterilebilir.

Comments

Elimdeki bir kitapta bu önermeyi doğru kabul ederek inşaalarda bulunulmuş. O halde Süreklilik Hipotezi doğru kabul edilmiş.

Bariz görünmesine rağmen, sezgilerimizde yanılabildiğimize güzel bir örnek.

---

Belki de elinizdeki kitap kullandığı spesifik örnekte bu durumu kanıtlayabiliyordur. Hangi kitap olduğunu sorabilir miyim?

Bu arada, bu "bariz teoremi" kullanıp hatalı olarak kohomoloji hesabı yapan profesyonel matematikçiler bile var. (Şurada yazmıştım bunu.)

---

Bu arada bu iddianın doğru olması için genelleştirilmiş süreklilik hipotezinin doğru olması şart değil. Bahsedilen önerme süreklilik fonksiyonunun (continuum function) birebir olması demek ki bunun süreklilik hipotezi yanlış olduğu halde doğru olduğu çeşitli durumlar Easton teoremi yardımıyla elde edilebilir.

---

Kitabın adı Notes on Set Theory. 2. bölümde exercise olarak bırakılmış bu önerme ve sonraki lemmalarda da kullanılmış.

Süreklilik Hipotezini doğru kabul ederek ilerleyeceğim o halde. Yanlışlığını kanıtlamaya çalışmıştım da başaramamıştım.

---

Moschovakis'in böyle bir hata yapmasına pek imkan yok. Şaşırdığım için bahsettiğiniz kitabın elimdeki elektronik versiyonundan aradım ama bulamadım. Hangi egzersizden bahsediyorsunuz? Egzersiz 2.20'de bu önermenin siz kanıtladığınız yönünü soruyor (soldan sağa) ama sağdan sola olan kısmı geçmiyor hiç.

Süreklilik hipotezini doğru kabul edip ilerlememeniz lazım zira sürekli hipotezinin doğru olduğu da yanlış olduğu da kümeler kuramıyla tutarlı, ki zaten bahsedilen önermenin doğru olması için süreklilik hipotezi değil genelleştirilmiş süreklilik hipotezi gerekli.

---

Kitapta sagdan sola dogrulugundan bahsetmiyor zaten. O yuzden sagdan sola da dogru mudur diye sordum yukarida.