Süreklilik tanımı birçok matematik kitabında yanlış yapılıyor. Mesela
A⊂R, f:A→R fonksiyon ve a∈A olmak üzere
f, a'da sürekli:⇔limx→af(x)=f(a)
gibi. Oysa limitten bahsedebilmek için a noktasının A kümesinin yığılma noktası olması gerekir. Bu hep göz ardı ediliyor. Olması gereken tanım şu:
A⊂R, f:A→R fonksiyon ve a∈A olmak üzere
f, a'da sürekli
:⇔
(∀ϵ>0)(∃δ>0)(∀x∈A)[∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ϵ]
⇔
(∀ϵ>0)(∃δ>0)[x∈A→(∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ϵ)]
⇔
(∀ϵ>0)(∃δ>0)[(x∈A∧∣x−a∣<δ)→∣f(x)−f(a)∣<ϵ]
⇔
(∀ϵ>0)(∃δ>0)[(x∈A∧x∈(a−δ,a+δ))→f(x)∈(f(a)−ϵ,f(a)+ϵ)]
⇔
(∀ϵ>0)(∃δ>0)[x∈A∩(a−δ,a+δ)→f(x)∈(f(a)−ϵ,f(a)+ϵ)]
⇔
(∀ϵ>0)(∃δ>0)[f(x)∈f[A∩(a−δ,a+δ)]→f(x)∈(f(a)−ϵ,f(a)+ϵ)]
⇔
(∀ϵ>0)(∃δ>0)[f[A∩(a−δ,a+δ)]⊂(f(a)−ϵ,f(a)+ϵ)].