Doğan'ın söylediği son cevabın doğruluğunu kanıtlamak için aşağıdaki kanıtı ekliyorum.
X bir topolojik uzay D, X in yoğun bir alt kümesi olsun. Eğer X∖D, X de yoğunsa kapalı her
F alt kümesinin X in bir A alt kümesinin sınırı olduğunu göstermek istiyoruz.
F kapalı bir alt küme olsun. V=intF ve B=F∖V koyalım. intB⊂B⊂F olduğundan
intB⊂intF=V dir. O halde intB⊂V∩(F∖V)=ϕ tur. Dolayısıyla X∖B kümesi X de yoğundur. Ayrıca ¯V⊂¯F=F olduğundan B∪¯V=F dir.
A=B∪(D∩V) koyalım. F=∂A olduğunu göstermek istiyoruz. Öncelikle V açık, D yoğun ve B kapalı olduğundan ¯V∩D=¯V ve ¯B=B dir. Ohalde
¯A=¯B∪(D∩V)=¯B∪¯(D∩V)=B∪¯V=F dir.
Ayrıca X∖B∩X∖D kümesi X de yoğundur. Bunu görmek i\c{c}in W boş olmayan bir açık küme olsun.
X∖B kümesi X de yoğun ve açık olduğundan G=W∩X∖B boş olmayan bir açık kümedir.
X∖D de X de yoğun olduğundan
W∩(X∖B∩X∖D)=G∩X∖D≠ϕ
olur. Dolayısıyla iddia edildiği
X∖B∩X∖D kümesi
X de yoğundur. Diğer taraftan
X∖D∪X∖V⊂X∖B∩(X∖D∪X∖V) =X∖A olup
X∖A kümesi
X de yoğundur. O halde
∂A=¯A∩¯X∖A=F∩X=F
olur.