Bir kümenin düşündürdükleri

Question

Başta amacım $\mathbb{Q}$ kümesini giderek genişletip continuum hipotezini yanlışlayacak bir küme bulmaktı. Sonra öğrendim ki Gödel bunun yapılamayacağını kanıtlamış. Ben de o çalışmamdan arta kalan sorulardan ikisini buraya yazıyorum.

p asal olsun. 

$\bigcup_{k=2}^{\infty} \bigcup_{p=2}^{\infty} \mathbb{Q}[\sqrt[k]p]$ kümesi sayılabilir kümelerin birleşimi olduğundan sayılabilirdir. 

Soru1) Tüm cebirsel sayılar bu kümenin elemanı mıdır?

Soru2) $\bigcup_{\alpha cebirsel değil} \bigcup_{k=2}^{\infty} \bigcup_{p=2}^{\infty} \mathbb{Q}[\sqrt[k]p , \sqrt[k]\alpha ]$ kümesi tüm reel sayıları içerir mi? İçermiyorsa reellerde olup bu kümede olmayan bir eleman bulunabilir mi?

Answer 1

1- Birinci genişlemenin Galois grubu çözülebilir ama $\mathbb{Q}$'nun mutlak Galois grubu çözülebilir değil. O yüzden sorunun yanıtı hayır.

2- Birinci kümede olmayanlar bu kümede de olmayacaklar.