∅≠A⊆R üstten sınırlı bir küme ve u, A'nın bir üst sınırı olmak üzere aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:
a) sup
b) \forall v(v\in A^ü\Rightarrow u\leq v)
c) \forall z(z<u\Rightarrow z\notin A^ü)
d) \forall z[z<u\Rightarrow (\exists s_z\in A)(z<s_z)]
e) \forall\epsilon[\epsilon>0\Rightarrow (\exists s_\epsilon\in A)(u-\epsilon<s_\epsilon)]
NOT: A\subseteq\mathbb{R} olsun. A^ü:=\{x\in\mathbb{R}|x, A\text{'nın üst sınırı}\}=\{x\in\mathbb{R}|(\forall a\in A)(a\leq x)\}.
Buradan hemen aşağıdakiler açıktır.
x\in A^ü\Leftrightarrow (\forall a\in A)(a\leq x)
x\notin A^ü\Leftrightarrow (\exists a\in A)(x<a)