Processing math: 7%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
491 kez görüntülendi

AR üstten sınırlı bir küme ve u, A'nın bir üst sınırı olmak üzere aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:


a) sup

b) \forall v(v\in A^ü\Rightarrow u\leq v)

c) \forall z(z<u\Rightarrow z\notin A^ü)

d) \forall z[z<u\Rightarrow (\exists s_z\in A)(z<s_z)]

e) \forall\epsilon[\epsilon>0\Rightarrow (\exists s_\epsilon\in A)(u-\epsilon<s_\epsilon)]

 

NOT: A\subseteq\mathbb{R} olsun. A^ü:=\{x\in\mathbb{R}|x, A\text{'nın üst sınırı}\}=\{x\in\mathbb{R}|(\forall a\in A)(a\leq x)\}.

Buradan hemen aşağıdakiler açıktır.

x\in A^ü\Leftrightarrow (\forall a\in A)(a\leq x)

x\notin A^ü\Leftrightarrow (\exists a\in A)(x<a)

 

Lisans Matematik kategorisinde (46 puan) tarafından  | 491 kez görüntülendi
Pek göstermelik bir durum yok gibi. Hepsi arasında makul bir bağ var.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
(a)\Rightarrow (b): \sup A=u olsun.

\sup A=u\Rightarrow \min A^ü=u\Rightarrow (\forall v\in A^ü) (u\leq v).
-------------------------------
(b)\Rightarrow (c): z<u olsun. Amacımız z\notin A^ü olduğunu göstermek.

z\in A^ü olduğunu varsayalım.
\left.\begin{array}{r}z\in A^ü  \\ \\ \text{Hipotez} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} u\leq z \\ \\ z<u\end{array} \right\} \Rightarrow \text{Çelişki.}\end{array}
-------------------------------
(c)\Rightarrow (d): z<u olsun. Amacımız z<s_z olacak şekilde en az bir s_z\in A olduğunu göstermek.

\left.\begin{array}{rr}z<u  \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow z\notin A^ü\Rightarrow (\exists s_z\in A)(z<s_z).
-------------------------------
(d)\Rightarrow (e): \epsilon>0 olsun

\left.\begin{array}{rr}\epsilon>0\Rightarrow z:=u-\epsilon<u  \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow  (\exists s_\epsilon\in A)(u-\epsilon<s_\epsilon).
-------------------------------
(e)\Rightarrow (a): Amacımız \sup A=u olduğunu göstermek. u'nun A kümesinin bir üst sınırı olduğu en başta verilmiş. A kümesinin u'dan daha küçük bir üst sınırının olamayacağını gösterirsek \sup A=u olduğunu göstermiş oluruz.

v<u olsun.

\left.\begin{array}{rr}v<u\Rightarrow\epsilon:=u-v>0 \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow  (\exists s_\epsilon\in A)(u-\epsilon=v<s_\epsilon)\Rightarrow v\notin A^ü.
(46 puan) tarafından 
Bir Kümenin İnfimumuna Dair
20,320 soru
21,881 cevap
73,599 yorum
2,930,059 kullanıcı