Bir Kümenin Supremumuna Dair

Question

$\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R}$ üstten sınırlı bir küme ve $u,$ $A$'nın bir üst sınırı olmak üzere aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:

$a)$ $\sup A=u$

$b)$ $\forall v(v\in A^ü\Rightarrow u\leq v)$

$c)$ $\forall z(z<u\Rightarrow z\notin A^ü)$

$d)$ $\forall z[z<u\Rightarrow (\exists s_z\in A)(z<s_z)]$

$e)$ $\forall\epsilon[\epsilon>0\Rightarrow (\exists s_\epsilon\in A)(u-\epsilon<s_\epsilon)]$

 

NOT: $A\subseteq\mathbb{R}$ olsun. $$A^ü:=\{x\in\mathbb{R}|x, A\text{'nın üst sınırı}\}=\{x\in\mathbb{R}|(\forall a\in A)(a\leq x)\}.$$

Buradan hemen aşağıdakiler açıktır.

$x\in A^ü\Leftrightarrow (\forall a\in A)(a\leq x)$

$x\notin A^ü\Leftrightarrow (\exists a\in A)(x<a)$

 

Comments

Pek göstermelik bir durum yok gibi. Hepsi arasında makul bir bağ var.

Answer 1

$(a)\Rightarrow (b):$ $\sup A=u$ olsun.

$\sup A=u\Rightarrow \min A^ü=u\Rightarrow (\forall v\in A^ü) (u\leq v).$
$-------------------------------$
$(b)\Rightarrow (c):$ $z<u$ olsun. Amacımız $z\notin A^ü$ olduğunu göstermek.

$z\in A^ü$ olduğunu varsayalım.
$\left.\begin{array}{r}z\in A^ü  \\ \\ \text{Hipotez} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} u\leq z \\ \\ z<u\end{array} \right\} \Rightarrow \text{Çelişki.}\end{array}$
$-------------------------------$
$(c)\Rightarrow (d):$ $z<u$ olsun. Amacımız $z<s_z$ olacak şekilde en az bir $s_z\in A$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rr}z<u  \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow z\notin A^ü\Rightarrow (\exists s_z\in A)(z<s_z).$
$-------------------------------$
$(d)\Rightarrow (e):$ $\epsilon>0$ olsun

$\left.\begin{array}{rr}\epsilon>0\Rightarrow z:=u-\epsilon<u  \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow  (\exists s_\epsilon\in A)(u-\epsilon<s_\epsilon).$
$-------------------------------$
$(e)\Rightarrow (a):$ Amacımız $\sup A=u$ olduğunu göstermek. $u$'nun $A$ kümesinin bir üst sınırı olduğu en başta verilmiş. $A$ kümesinin $u$'dan daha küçük bir üst sınırının olamayacağını gösterirsek $\sup A=u$ olduğunu göstermiş oluruz.

$v<u$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}v<u\Rightarrow\epsilon:=u-v>0 \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow  (\exists s_\epsilon\in A)(u-\epsilon=v<s_\epsilon)\Rightarrow v\notin A^ü.$