Bir Kümenin İnfimumuna Dair

Question

$\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R}$ alttan sınırlı bir küme ve $u,$ $A$'nın bir alt sınırı olmak üzere aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:

$a)$ $\inf A=u$

$b)$ $\forall v(v\in A^a\Rightarrow v\leq u)$

$c)$ $\forall z(u<z\Rightarrow z\notin A^a)$

$d)$ $\forall z[u<z\Rightarrow (\exists s_z\in A)(s_z<z)]$

$e)$ $\forall\epsilon[\epsilon>0\Rightarrow (\exists s_\epsilon\in A)(s_\epsilon<u+\epsilon)]$

 

NOT: $A\subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere $$A^a:=\{x\in\mathbb{R}|x, A\text{'nın alt sınırı}\}=\{x\in\mathbb{R}|(\forall a\in A)(x\leq a)\}.$$

Buradan hemen aşağıdakiler açıktır.

$x\in A^a\Leftrightarrow (\forall a\in A)(x\leq a)$

$x\notin A^a\Leftrightarrow (\exists a\in A)(a<x)$

Answer 1

$(a)\Rightarrow (b):$ $\inf A=u$ olsun.

$\inf A=u\Rightarrow \max A^a=u\Rightarrow (\forall v\in A^a) (v\leq u).$
$-------------------------------$
$(b)\Rightarrow (c):$ $u<z$ olsun. Amacımız $z\notin A^a$ olduğunu göstermek.

$z\in A^a$ olduğunu varsayalım.
$\left.\begin{array}{r}z\in A^a  \\ \\ \text{Hipotez} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} z\leq u \\ \\ u<z\end{array} \right\} \Rightarrow \text{Çelişki.}\end{array}$
$-------------------------------$
$(c)\Rightarrow (d):$ $u<z$ olsun. Amacımız $s_z<z$ olacak şekilde en az bir $s_z\in A$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rr} u<z  \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow z\notin A^a\Rightarrow (\exists s_z\in A)(s_z<z).$
$-------------------------------$
$(d)\Rightarrow (e):$ $\epsilon>0$ olsun

$\left.\begin{array}{rr}\epsilon>0\Rightarrow z:=u+\epsilon>u  \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow  (\exists s_\epsilon\in A)(s_\epsilon<u+\epsilon).$
$-------------------------------$
$(e)\Rightarrow (a):$ Amacımız $\inf A=u$ olduğunu göstermek. $u$'nun $A$ kümesinin bir alt sınırı olduğu en başta verilmiş. $A$ kümesinin $u$'dan daha büyük bir alt sınırının olamayacağını gösterirsek $\inf A=u$ olduğunu göstermiş oluruz.

$u<v$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} u<v\Rightarrow\epsilon:=v-u>0 \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow  (\exists s_\epsilon\in A)(s_\epsilon<v=u+\epsilon)\Rightarrow v\notin A^a.$