En büyük değer

Question

Toplamları 2015 olan n tane pozitif sayının çarpımının en çok olabilmesi için n kaç olmalıdır?

Mustafa Yağcı hocamızdan bayram şekeri:).

Answer 1

$A.O\geq G.O$

$\frac{a_{1}+a_{2}...+a_{n}}{n}\geq\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$ ise

$(\frac{2015}{n})^n\geq a_{1}.a_{2}...a_{n}$

$(\frac{2015}{n})^n$ sayının en büyük değeri için $a_{1}.a_{2}...a_{n}$ ifadeside en büyük değerini alır.

$(\frac{2015}{n})^n=y$ dersek.

$n.ln(\frac{2015}{n})=lny$ bir kere türev alıp türevi sıfıra eşitlersek.

$1.ln(\frac{2015}{n})-\frac{\frac{2015}{n^2}}{\frac{2015}{n}}.n=\frac{y'}{y}$

Buradan $(ln(\frac{2015}{n})-1).(\frac{2015}{n})^n=y'$ 

$(ln(\frac{2015}{n})-1).(\frac{2015}{n})^n=0$ yaparsak ikinci ifadenin sıfır olma ihtimali yok o zaman sadeleştirme yapabiliriz.

$ln(\frac{2015}{n})-1=0$ ise $n=\frac{2015}{e}$ gelir.

En büyük çarpım değerini $n=\frac{2015}{e}=741,.....$ sayısında alır.

Comments

Hocam bu çözümde bence bir sıkıntı var. Şöyleki, $n\in N$ olduğunda bir tamsayıını irrasyonel bir sayı olan $e$'ye bölümü cevap olamaz. Çünkü bir doğal sayı değil. Bu çözümde $a_1.a_2.a_3...a_n$ çarpımına $y$ denilmesinde sorun var gibi. Kanaatimce yukarıda, sayın kotan'ın yaptığı çözüm doğru. Ben de öyle çözüyorum. Çözümü incelerseniz sevinirim. İyi bayramlar.

---

@Metok, dexor sayinin kusuratli oldugunu ve bu nedenle n=741 sayisi icin en buyuk degeri alabilecegini soyluyor diye tahmin ediyorum. kotan'in cevabi da pozitif tam sayilar icin dogru.

---

Sercan hocam, sayın @kotan'ın cevabı 672, sayın @Dexor'un ki 741 dir. Sorunun istediğine göre çözümün sonucu en az kaç olur şeklinde değil ki. Kaçtır? seklinde.  Böyle olunca da $n= 741,...$ cevabı bana yanlış geldi. Ayrıca çözüm türev yolu ile yapılmış. Birinci türevin kökü her  zaman için fonksiyonu maksimum yapmaz ki. Bu kökte fonksiyonun maksimum olduğunun kontrol edilmesi gerekmez mi? Son olarak sayın @kotan'ın cevabı olan 672 sayının; 671 tanesinin 3, birisinin de 2 olduğu açıkca görülüyor. Ancak, sayın@Dexor'un cevabındaki 741 adet sayının neler olduğunu bilmiyoruz. Mesala,bu sonucu doğrulayan bir örnek verilse de görsek hangisinin doğru çözüm olduğunu.  Ben yine de 2.çözüme biraz kaygılı yaklaşıyorum. 

---

wolfram link. Hatta ikisi arasindaki fark (haliyle) epey buyuk. Kelebek etkisi diyelim.

---

Metok hocam  ifadenin en büyük değeri değil de en küçük yapan en büyük n değeri soruluyor o yüzden doğru 

---

@yavuzkiremici hocam, sorunun ifadesinde en küçük yapmaya ilişkin bir bildirim yok ki. Bu sonucu nasıl çıkardınız? Yani çarpımları en büyük olan en az sayıdaki $n$ değeri sorulmuyor ki. 

---

hocam demek istediğim şu  sorudaki ifade bir eşitsizlik ifadesi alabileceği en küçük değer lazım bence dexorun  çözümünde yanlış yazılmış 

---

Ayrca sag degerin de kontrol edilmesi lazim. Gerci cevapta bunun icin bir bilgi verilmediginden kontrol edilmemis diyemeyiz fakat soz edilmemis.

---

Sayın hocam.

Verdiğiniz linkt, çözümü doğruluyor. Ancak bu soruyu " toplamları 10 olan n tane pozitif sayının çarpımı en çok olabilmesi için n kaç olmalıdır?" diye yine "wolframalpha" yardımıyla kontrol ettim.  $\left(\frac{10}{e}\right)^e-2^2.3^2>0$ eşitsizliğine false(yanlış) diyor. Yani söz konusu çözüm daima doğru sonuç vermiyor. Oysa daima doğru olması gerekmez mi? 

---

Incelememiz gereken $e^{10/e}$.

---

672 cevabını Mustafa Yağcı hocamız doğru değil demişti.Cevabın benim yazdığım cevap olduğunu söylemişti ama yine de bir tekrar kontrol edelim.

---

Soruyu soran da yanlis cozebilir en nihayetinde. Matematik onemli olan.

---

Hocam cevabınız doğruda oradaki ifade yalnış sizin bulduğunuz değer 2015/n)^n in en küçük değeri 

---

@Yavuz, en buyuk degeri. Bu linkten goruntu araligina bakabilirsin.

---

Doğru Yavuz hocam o noktada bir hata olmuş ama sonucu değiştirmiyor.Hepinize ilgi ve alakanızdan dolayı çok teşekkür ederim.Bu şekilde birbirimizi geliştirip daha iyiye doğru gidiyoruz.Sağolun ,Varolun!

Answer 2

Genellestirmelerini yazayim ben de.

Toplamlari $k>0$ olan $n$ tane pozitif sayinin carpiminin en buyuk olabilmesi icin $n$ kac olmali denilseydi, sonuc benzer olurdu: $\lfloor k/e\rfloor$ ya  da $\lceil k/e\rceil$.

Incelememiz gereken $f(x)=(k/x)^x$ fonksiyonu.

Toplamlari $k>0$ olan $n$ tane pozitif tam sayinin carpiminin en buyuk olabilmesi icin $n$ kac olmali denilseydi, sonuc benzer olurdu: (kotan'in cevabi incelenebilir).

1) Eger $k \equiv 2 \mod 3$ ise $\frac{k-2}{3}+1$,
2) Eger $k \equiv 1 \mod 3$ ise $\frac{k-4}{3}+1$,
3) Eger $k \equiv 0 \mod 3$ ise $\frac{k}{3}$.

Comments

Gayet güzel olmuş elinize sağlık

---

Hocam çok güzel olmuş. Bu zaten sayın @kotan'ın çözümünün kısa ve daha matematiksel anlatımı olmuş. Tartıştığımız ikinci çözüm.