Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
5 beğenilme 0 beğenilmeme
649 kez görüntülendi
Her noktada süreksiz ve sadece taşınabilir (removable) süreksizliğe sahip bir f fonksiyonu var mıdır?
Lisans Matematik kategorisinde (66 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 649 kez görüntülendi

1 cevap

5 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

R üzerinde böyle bir fonksiyon olamaz. Diyelim ki bu özelliğe sahip bir f:RR fonksiyonu var.

Rastgele bir x0R seçelim. f fonksiyonu x0 noktasında taşınabilir bir süreksizliğe sahip olduğu için limxx0f(x)=L0 limiti vardır, ancak f(x0)'dan farklıdır.

ϵ0=1 olsun. O zaman öyle bir 0<δ0<1 bulunabilir ki her  0<|xx0|<δ0 için |f(x)L0|<ϵ0 olur. Şimdi (x0,x0+δ0) aralığından bir x1R noktası seçelim. Varsayımımız gereği limxx1f(x)=L1 limiti var olduğundan dolayı ϵ1=1/2 seçersek öyle bir 0<δ1<min(|x0+δ0x1|,|x1x0|)/2 bulunabilir ki her 0<|xx1|<δ1 için |f(x)L1|<ϵ1 olur.

Benzer şekilde her n1 için (xn1,xn1+δn1) aralığından bir xnR noktası seçebiliriz ve ϵn=1/2n için öyle bir 0<δn<min(|xn1+δn1xn|,|xnxn1|)/2 bulabiliriz ki her 0<|xxn|<δn için |f(x)Ln|<ϵn olur.

(xn) dizisi monoton artan ve üstten x0+1 değeriyle sınırlı bir dizidir, dolayısıyla da limiti vardır. Bu limite x diyelim. İddiamız f fonksiyonunun x noktasında sürekli olduğu. Fonksiyonun x noktasında bir limiti olduğunu biliyoruz, bu limite L diyelim. Metrik bir uzayda çalıştığımızdan dolayı f fonksiyonunun x noktasındaki dizisel limiti (sequential limit) limitiyle aynıdır. Buradan da, xn dizisi x noktasına yaklaştığından dolayı, f(xn) dizisinin limitinin L olması gerektiği görülebilir.

Öte yandan her n0 için 0<|xxn|<δn olduğundan dolayı |f(x)Ln|<ϵn olmalı. Ancak inşa gereği her n0 için 0<|xn+1xn|<δn olduğundan dolayı |f(xn+1)Ln|<ϵn olduğunu biliyoruz. Buradan da her n0 için |f(x)f(xn+1)|<2ϵn olduğu çıkar ki, bu da f(xn) dizisinin limitinin, yani L'nin, f(x) olması demektir. Yani f fonksiyonu x noktasında süreklidir.

(1.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,708 kullanıcı