R üzerinde böyle bir fonksiyon olamaz. Diyelim ki bu özelliğe sahip bir f:R→R fonksiyonu var.
Rastgele bir x0∈R seçelim. f fonksiyonu x0 noktasında taşınabilir bir süreksizliğe sahip olduğu için limx→x0f(x)=L0 limiti vardır, ancak f(x0)'dan farklıdır.
ϵ0=1 olsun. O zaman öyle bir 0<δ0<1 bulunabilir ki her 0<|x−x0|<δ0 için |f(x)−L0|<ϵ0 olur. Şimdi (x0,x0+δ0) aralığından bir x1∈R noktası seçelim. Varsayımımız gereği limx→x1f(x)=L1 limiti var olduğundan dolayı ϵ1=1/2 seçersek öyle bir 0<δ1<min(|x0+δ0−x1|,|x1−x0|)/2 bulunabilir ki her 0<|x−x1|<δ1 için |f(x)−L1|<ϵ1 olur.
Benzer şekilde her n≥1 için (xn−1,xn−1+δn−1) aralığından bir xn∈R noktası seçebiliriz ve ϵn=1/2n için öyle bir 0<δn<min(|xn−1+δn−1−xn|,|xn−xn−1|)/2 bulabiliriz ki her 0<|x−xn|<δn için |f(x)−Ln|<ϵn olur.
(xn) dizisi monoton artan ve üstten x0+1 değeriyle sınırlı bir dizidir, dolayısıyla da limiti vardır. Bu limite x′ diyelim. İddiamız f fonksiyonunun x′ noktasında sürekli olduğu. Fonksiyonun x′ noktasında bir limiti olduğunu biliyoruz, bu limite L diyelim. Metrik bir uzayda çalıştığımızdan dolayı f fonksiyonunun x′ noktasındaki dizisel limiti (sequential limit) limitiyle aynıdır. Buradan da, xn dizisi x′ noktasına yaklaştığından dolayı, f(xn) dizisinin limitinin L olması gerektiği görülebilir.
Öte yandan her n≥0 için 0<|x′−xn|<δn olduğundan dolayı |f(x′)−Ln|<ϵn olmalı. Ancak inşa gereği her n≥0 için 0<|xn+1−xn|<δn olduğundan dolayı |f(xn+1)−Ln|<ϵn olduğunu biliyoruz. Buradan da her n≥0 için |f(x′)−f(xn+1)|<2ϵn olduğu çıkar ki, bu da f(xn) dizisinin limitinin, yani L'nin, f(x′) olması demektir. Yani f fonksiyonu x′ noktasında süreklidir.