Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
5 beğenilme 0 beğenilmeme
520 kez görüntülendi
Her noktada süreksiz ve sadece taşınabilir (removable) süreksizliğe sahip bir f fonksiyonu var mıdır?
Lisans Matematik kategorisinde (66 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 520 kez görüntülendi

1 cevap

5 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$\mathbb{R}$ üzerinde böyle bir fonksiyon olamaz. Diyelim ki bu özelliğe sahip bir $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu var.

Rastgele bir $x_0 \in \mathbb{R}$ seçelim. $f$ fonksiyonu $x_0$ noktasında taşınabilir bir süreksizliğe sahip olduğu için $lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=L_0$ limiti vardır, ancak $f(x_0)$'dan farklıdır.

$\epsilon_0 = 1$ olsun. O zaman öyle bir $0< \delta_0 < 1$ bulunabilir ki her  $0 < |x-x_0| < \delta_0$ için $|f(x)-L_0| < \epsilon_0$ olur. Şimdi $(x_0,x_0+\delta_0)$ aralığından bir $x_1 \in \mathbb{R}$ noktası seçelim. Varsayımımız gereği $lim_{x \rightarrow x_1} f(x)=L_1$ limiti var olduğundan dolayı $\epsilon_1 = 1/2$ seçersek öyle bir $0 < \delta_1 < min(|x_0+\delta_0-x_1|,|x_1-x_0|)/2$ bulunabilir ki her $0< |x-x_1| < \delta_1$ için $|f(x)-L_1| < \epsilon_1$ olur.

Benzer şekilde her $n \geq 1$ için $(x_{n-1},x_{n-1}+\delta_{n-1})$ aralığından bir $x_n \in \mathbb{R}$ noktası seçebiliriz ve $\epsilon_n= 1/{2^n}$ için öyle bir $0< \delta_n< min(|x_{n-1}+\delta_{n-1}-x_{n}|,|x_n-x_{n-1}|)/2$ bulabiliriz ki her $0< |x-x_n| < \delta_n$ için $|f(x)-L_n| < \epsilon_n$ olur.

$(x_n)$ dizisi monoton artan ve üstten $x_0+1$ değeriyle sınırlı bir dizidir, dolayısıyla da limiti vardır. Bu limite $x'$ diyelim. İddiamız $f$ fonksiyonunun $x'$ noktasında sürekli olduğu. Fonksiyonun $x'$ noktasında bir limiti olduğunu biliyoruz, bu limite $L$ diyelim. Metrik bir uzayda çalıştığımızdan dolayı $f$ fonksiyonunun $x'$ noktasındaki dizisel limiti (sequential limit) limitiyle aynıdır. Buradan da, $x_n$ dizisi $x'$ noktasına yaklaştığından dolayı, $f(x_n)$ dizisinin limitinin $L$ olması gerektiği görülebilir.

Öte yandan her $n \geq 0$ için $0< |x'-x_n|< \delta_n$ olduğundan dolayı $|f(x')-L_n|< \epsilon_n$ olmalı. Ancak inşa gereği her $n \geq 0$ için $0< |x_{n+1}-x_n|< \delta_n$ olduğundan dolayı $|f(x_{n+1})-L_n|< \epsilon_n$ olduğunu biliyoruz. Buradan da her $n \geq 0$ için $|f(x')-f(x_{n+1})|< 2 \epsilon_n$ olduğu çıkar ki, bu da $f(x_n)$ dizisinin limitinin, yani $L$'nin, $f(x')$ olması demektir. Yani $f$ fonksiyonu $x'$ noktasında süreklidir.

(1.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,247 soru
21,773 cevap
73,414 yorum
2,135,974 kullanıcı