Her topolojik uzay bir metrik uzay mıdır?

Question

Bir soru ile ilgili olarak: http://matkafasi.com/19455/her-metrik-uzayin-bir-topolojik-uzay-oldugunu-gosteriniz

Answer 1

(X,d) bir metrik uzay olsun. X in açık yuvarların bileşimi olarak yazılan alt kümelerine " açık kümeler" diyelim. Yuvarların da açık küme olduğu barizdir. Açık kümeler şu üç özelliği sağlar:

1) Boş ver X açık kümelerdir.

2) Açık kümelerin sonlu veya sonsuz bileşimi açıktır.

3) Sonlu sayıda açık kümenin kesişimi açıktır.

Yukardaki özellikler bir topolojik uzayda açıkların sağlaması gereken özelliklerdir. Dolayısıyla her metrik uzay bir topolojik uzaydır veya her (X,d) metrik uzayı X de yalnız bir topolojik uzay üretir. Fakat her topolojik uzay bir metrik tarafından üretilmez. Mesela bir metrik uzay tarafından üretilmiş her topoloji Hausdorf uzay iken |X|>1 iken X in en kaba topolojisini üreten bir metrik uzay yoktur. Bu arada bir metrik tarafından üretilen topolojilere "metrikleşebilen topolojiler" denir.

Answer 2

Hausdorff olmayan bir topolojik uzay metriklenemez ama uzayın metriklenebilmesi için Hausdorff olması yetmez. Örneğin Sorgenfrey doğrusu Hausdorffdur fakat metriklenemez.Sanırım ikinci sayılabilir olmadığından metriklenemiyordu. Fakat hangi tür uzayların metrikleşebildiğini iyi bilmiyorum.

Comments

Hausdorff olmayan bir topolojik uzay metriklenemez ama uzayın metriklenebilmesi için Hausdorff olması yetmez. Örneğin Sorgenfrey doğrusu Hausdorffdur fakat metriklenemez.Sanırım ikinci sayılabilir olmadığından metriklenemiyordu. Fakat hangi tür uzayların metrikleşebildiğini iyi bilmiyorum.

---

http://matkafasi.com/19845/hausdorff-her-uzay-metriklenebilir-mi