$G$ bir grup, $H$ ile $K$ da altgrupları olsun

Question

tüm $g\in G$ için $(H\cap K)^g=H^g\cap K^g$ ifadesi doğru mudur?

Comments

$^g$ islemi $a \mapsto g a g^{-1}$ islemi mi?

---

Evet, konjuge. Ama altgruplar üzerinde.

Answer 1

$b \in (H \cap K)^g$ olsun. O halde bir $a \in H \cap K$ icin, $b = g a g^{-1}$ olarak yazabiliriz. Ama, $a \in H$ ve $a \in K$. Demek ki, $b \in H^g$ ve $b \in K^g$. Yani, $b \in H^g \cap K^g$. Yani, $$(H \cap K)^g \subseteq H^g \cap K^g$$

Ote yandan, bir $b \in H^g \cap K^g$ alalim. Demek ki, bir $a \in H$ icin $b = g a g^{-1}$ ve bir $c \in K$ icin $b = gcg^{-1}$. O halde, $gag^{-1} = gcg^{-1}$. Bu da, $a = c$ demek. Demek ki, $a \in H \cap K$. O halde, $b \in (H \cap K)^g$. Yani, $$H^g \cap K^g \subseteq (H \cap K)^g$$

O halde esitlik var demektir. Yani, ifade dogrudur.

Ama,

Burada gozlemleyebilecegimiz baska bir sey daha var. Her $g \in G$ icin, $a \mapsto gag^{-1}$ fonksiyonu kolayca gosterilebilecegi uzere

1. Bir grup homomorfizmasidir.
2. Birebirdir.
3. Ortendir.

Dolayisiyla, bir grup otomorfizmasidir ve bu tip otomorfizmalar onemlidir. 

Senin sorunun cevabi icin ise bu fonksiyonun birebir ve orten olmasi yeterlidir. Zira, $f : X \to Y$ iki kume arasinda birebir ve orten bir fonksiyon (esleme) ise her $A \subset X$ ve $B \subset Y$ icin $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ olur.

Duzeltme: Safak Ozden'in yorumunda belirttigi gibi ortenlige gerek yok. $f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$ her $f$ fonksiyonu icin dogruyken, $f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B)$ olmasi icin birebirlik yeterlidir.

Comments

Örten olmasına gerek yok.

---

Duzeltiyorum.

Answer 2

$x\in (H \cap K)^g\iff x^{g^{-1}} \in H \cap K \iff x\in H^g \cap K^g$.

Comments

Özgür'ün güzel cevabından sonra bu da burda dursun.

---

Hocam bu sorunun asıl amacı aslında şunu göstermek : 

$G$ bir grup olsun $P\in Syl_p(G)$ ve $N\triangleleft G$ diyelim. Öyleyse $P\cap N\in Syl_p(N)$ midir?

Şöyle dedim : 

$S\in Syl_p(N)$ olsun. Öyleyse öyle bir $K\in Syl_p(G)$ var ki, $S\subseteq K$. O zaman $K\cap N=S$. Şimdi $K^g=P$ yi sağlayan $g\in G$yi alalım.

$K^g\cap N=(K\cap N)^g\in Syl_p(N)$, Sylow-C teoreminden dolayı.

Geçerli bir kanıt mıdır ne dersiniz? 

---

En sonda $(K \cap N)^g \in Syl_p(N)$ demek icin $g \in N$ olmasi gerekmez mi?

---

$N$ normal olduğu için farketmez gibi geldi bana. $Syl_p(N)$ içindeki tüm altgruplar birbirlerinin konjugesi. $N$ normal olduğu için herhangi bir Sylow $p$-altgrubu zorunlu $N$'in içerisinde kalacaktır. 

---

Evet konjuge olmak zorundalar ama $P=Q^n$ seklinde.

$N$ sonlu oldugundan ve $|P \cap N|=|(K\cap N)^g|=|K \cap N|=|S|$ oldugundan $P \cap N$ de  $N$'in sylow-$p$ altgrubu olmalidir.

---

Ben de aynısını diyorum hocam, ya da tam anlayamadım demek istediğinizi. $K\cap N$, $N$'in Sylow $p$-altgrubu. Haliyle $(K\cap N)^g = K^g\cap N = P\cap N$ de öyle? Aynı şeyleri mi diyoruz acaba.

---

Aslında demek istediğim şuydu: $g\not\in N$ olduğundan sonucu elde edemezsek de (bana göre), $|P\cap N|=|S|=p^a$ oldgundan ($a$ en büyük ) $P\cap N$ de sylow-$p$ olmalı.

---

$N$ normal olduğu için, $(K\cap N)^g$ $N$'in içinde kalacak ve mertebesi aynı olduğundan Sylow olacak demek istemiştim.

---

Sylow C teoremi nedir?

---

Bütün Sylow altgrupları birbirinin konjugesidir ('C'onjugation).

---

İşte bunu kullanmak için $g\in N$ olmalı değil mi? Belki bu teoremi kullanaraktan $g\in G$ olsa bile doğrudur denilebilir, ki biz bunu yorumlarda dedik. Fakat teoremin konjugeler dediği $g\in N$ için.

---

Elbette teoremin dediği $g\in N$ için ama $g\in G$ de diyebiliriz $N$ normal olduğu için.

---

$P \cap N=S^g$ olsun. $N$ normal olmasin ve $S$ altgrubu da $N$ grubunda sylow-$p$ grup olsun.

$|P\cap N|=|S^g|=|S|=p^a$ olsun. ($a$ maksimal) Burda $P \cap N$ yine sylow-$p$ olur.

$N$'nin normalligini sadece $K^g \cap N=(K\cap N)^g$ derken kullandik.

---

Ama $N$'in içerisinde kaldığını nereden biliyorsunuz?

---

Demk istedigim su: En sondaki sebebin $N$'nin normal olmasiyla ya da sylow-C ile alakali degil.

$P\cap N$ zaten $N$'nin icindedir ve mertebesi $p^b$'dir. Onemli olan $p^a$ olup olmadigi. Onu da $P \cap N=(K \cap N)^g$ veriyor. Normalligi sadece burda kullandik ve sylow-C en sonda isin gercek sebebi degil.

---

Hocam $(K\cap N)^g$'nin $N$'in içinde olduğunu nereden biliyorsunuz?

---

Çünkü $P\cap N$'ye eşit. Bu eşitlik için $N$'nin normal olduğunu kullandık sadece.

---

Evet şimdi anlıyorum, teşekkürler :) saçma bir şey söylüyormuşum

---

kafalar karisiyor bazen :)

Answer 3

Birebir bir $f$ fonksiyonu için $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ eşitliği her zaman doğru olduğu için bu eşitlik de doğrudur.