Processing math: 5%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2.8k kez görüntülendi

\lim_{n \to \infty} \big(\text{sin}(\frac{1}{n+1})+...+\text{sin}(\frac{1}{2n}) \big) limitini hesaplayiniz.

Lisans Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından  | 2.8k kez görüntülendi

taylorla açsak hepsini?

olabilir.       

\lim _{x\rightarrow \infty } \sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{n}} {\left( 2n+1\right) !}\left[ \left( \dfrac {1} {x+1}\right) ^{2n+1}+\ldots +\left( \dfrac {1} {2x}\right)^{2n+1} \right] galiba?

Tabi x tane toplam oldugunu da hesaba katmak lazim.

 \sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{n}} {\left( 2n+1\right) !}\lim _{x\rightarrow \infty }\left[ \left( \dfrac {1} {x+1}\right) ^{2n+1}+\ldots +\left( \dfrac {1} {2x}\right)^{2n+1} \right] =

 \sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{n}} {\left( 2n+1\right) !}\lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{x}\left( \dfrac {1} {x+k}\right) ^{2n+1}



limiti oyle atabiliyor muyuz?

Cevap 0 değilmi?

n yerine sonsuz verirsek , bütün terimler sin(0)=0 yapar.


Bu yorum niteliginde bir cevap. Duzenleden yoruma cevirebilirsiniz.

0=0+\cdots+0=\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n})=\lim_{n\rightarrow \infty}1=1?

x yok diye aldım, parantez toplam sembolün başından sona kadar. neden alamayalım, alamıyorsak?

Belki şu işinize yarar \frac{b-a}{n}.\sum_1^n f(a+k.\frac{b-a}{n})=\int_a^b f(x)dx

\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{sin(\frac{1}{n+k})}{\frac{1}{n+k}}\right)=1 durumunu kullanırsak, n\to\infty  durumunda sin(\frac{1}{n+k}) yerine \frac{1}{n+k}  yazabiliriz.

\lim_{n \to \infty} \big(\text{sin}(\frac{1}{n+1})+...+\text{sin}(\frac{1}{2n}) \big)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\right).....................(*)

Payda eşitlemesi yaparsak ve pay kısmında ve payda kısmında aynı derecelileri toparlayıp en yüksek dereceliden düşük dereceliye doğru düzenlersek şu tip bişey elde ediliyor:

(*)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n.n^{n-1}+...}{n^n+...}\right)=1  olur diye düşünüyorum.

Cevap sabit bir sayı olabilir mi?

Bilgisayardan hesapladığımda 10000000. terim (n değeri) yaklaşık 0.6931471556

Edit: Şimdi baktımda ln(2) de yaklaşık olarak 0.69314718056

Cok ilginc bir dizi..image

image

..............................

Soruyu ordan aldım zaten. Anladığın bir cevabı buraya ekleyebilirsin, Türkçe kaynağımız da olsun :)

Niyeyse riemann integrali aklıma geldi bu soruyu görür görmez

limit ve toplam şeklinde yazarsak bir sonuç elde edebilir miyiz?
20,312 soru
21,867 cevap
73,587 yorum
2,851,277 kullanıcı