Question

$\lim_{n \to \infty} \big(\text{sin}(\frac{1}{n+1})+...+\text{sin}(\frac{1}{2n}) \big)$ limitini hesaplayiniz.

Comments

taylorla açsak hepsini?

---

olabilir.       

---

$\lim _{x\rightarrow \infty } \sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{n}} {\left( 2n+1\right) !}\left[ \left( \dfrac {1} {x+1}\right) ^{2n+1}+\ldots +\left( \dfrac {1} {2x}\right)^{2n+1} \right]$ galiba?

---

Tabi $x$ tane toplam oldugunu da hesaba katmak lazim.

---

$\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{n}} {\left( 2n+1\right) !}\lim _{x\rightarrow \infty }\left[ \left( \dfrac {1} {x+1}\right) ^{2n+1}+\ldots +\left( \dfrac {1} {2x}\right)^{2n+1} \right]$ $=$

$\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{n}} {\left( 2n+1\right) !}\lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{x}\left( \dfrac {1} {x+k}\right) ^{2n+1}$

---

limiti oyle atabiliyor muyuz?

---

Cevap 0 değilmi?

n yerine sonsuz verirsek , bütün terimler sin(0)=0 yapar.

---

Bu yorum niteliginde bir cevap. Duzenleden yoruma cevirebilirsiniz.

$0=0+\cdots+0=\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n})=\lim_{n\rightarrow \infty}1=1$?

---

$x$ yok diye aldım, parantez toplam sembolün başından sona kadar. neden alamayalım, alamıyorsak?

---

Belki şu işinize yarar $\frac{b-a}{n}.\sum_1^n f(a+k.\frac{b-a}{n})=\int_a^b f(x)dx$

---

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{sin(\frac{1}{n+k})}{\frac{1}{n+k}}\right)$=1 durumunu kullanırsak, $n\to\infty$  durumunda $sin(\frac{1}{n+k})$ yerine $\frac{1}{n+k}$  yazabiliriz.

$\lim_{n \to \infty} \big(\text{sin}(\frac{1}{n+1})+...+\text{sin}(\frac{1}{2n}) \big)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\right)$.....................(*)

Payda eşitlemesi yaparsak ve pay kısmında ve payda kısmında aynı derecelileri toparlayıp en yüksek dereceliden düşük dereceliye doğru düzenlersek şu tip bişey elde ediliyor:

(*)=$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n.n^{n-1}+...}{n^n+...}\right)=1$  olur diye düşünüyorum.

---

Cevap sabit bir sayı olabilir mi?

Bilgisayardan hesapladığımda 10000000. terim (n değeri) yaklaşık 0.6931471556

Edit: Şimdi baktımda ln(2) de yaklaşık olarak 0.69314718056

---

Cok ilginc bir dizi..

---

..............................

---

Cevap burada var.

http://math.stackexchange.com/questions/1356461/how-to-prove-lim-n-to-infty-big-textsin-frac1n1-textsin 

---

Soruyu ordan aldım zaten. Anladığın bir cevabı buraya ekleyebilirsin, Türkçe kaynağımız da olsun :)

---

Niyeyse riemann integrali aklıma geldi bu soruyu görür görmez

limit ve toplam şeklinde yazarsak bir sonuç elde edebilir miyiz?