Ilgili soruda cebirsel sayinin tanimi var. Ben kendimi rasyonel sayilar uzerine cebirsel reel sayilara kisitlamak istiyorum. Dolayisiyla soyle bir tanim yapiyorum:
$\mathbb{Z}[x]$ kumesi katsayilari tam sayilardan gelen polinomlarin kumesi olmak uzere, $$C = \{ a \in \mathbb{R} : \text{ bir } p(x) \in \mathbb{Z}[x] \text{ icin } p(a) = 0 \}$$ Yani, eger elimdeki sayi, katsayilari tam sayi olan bir polinomun kokuyse o sayiya cebirsel diyorum.
Bu tanim ve ilgili sorudaki yorumlarla birlikte, soyle bir iliski var: $$\mathbb{Q} \subsetneq C \subsetneq \mathbb{R}$$ Dolayisiyla, $C$'nin en azindan sonsuz oldugunu biliyoruz. Bu $C$ kumesi ne kadar buyuktur?
$C$'nin sayilabilir sonsuz oldugunu gosteriniz.
Bunu gosterdigimiz takdirde, Okkes Dulgerci'nin yorumu dogruluk kazaniyor. Cunku sayilabilir oldugunu gosterebilirsek sunu da gostermis oluyoruz: Cebirsel sayilarin olcusu sifirdir. Bir baska deyisle, reel sayilar kumesinden rastgele bir sayi secersek bu sayinin askin bir sayi olma olasiligi yuzde yuz.
Ipucu icin ilk yoruma bakabilirsiniz, ama bence bakmadan da yapabilirsiniz.