Cebirsel sayilar kumesinin kardinalitesi nedir ?

Question

(Rasyonel katsayili ) bir polinomun koku olarak yazilabilen sayilara cebirsel sayilar deniyor sanirim. Buna gore kac tane cebirsel sayi vardir ?

 

Duzenleme: Dogan Hocanin uyarisi uzerine Rasyonel katsayili sartini ekledim

Comments

Bu soruyu ben de sormuştum. Ve bana da "bu soruyu ben de sormuştum" demişlerdi.

---

2015 ten beri sitenin arama motorunda gelisme olmamis :D.

Sayilabilirmis arkadaslar cebirsel sayilar kumesi buraya gelip okursaniz diye. Surayada kucuk bir ispatimsi:

Daha buyuk bir kumenin sayilabilir oldugunu gosterecegim.

Bir bilgisayar programiyla istedigim kadar yakinlasabilecegim sayilar kumesini dusunun. Bu kume acikca cebirsel sayilar kumesini kapsiyor, cunku bir polinomun kokune istedigim kadar yaklasmami saglayan algoritmalar var. Bu kumede cebirsel sayilar disinda sayilar da var mesela $\pi$ ve $e$.

Ancak bu kume sayilabilir cunku butun programlar kumesi sayilabilir.

 

Duzenleme sonrasi:  Sonradan farkettimde ustteki yorumun ve sorunun ozyinelemeli olmasi da hos olmus

---

"bir polinomun kökü" olarak tanımlarsak her sayı cebirsel olur.

$\pi,\ x-\pi$ nin köküdür.

Rasyonel katsayılı (eşdeğer olarak tamsayı katsayılı) polinom olarak kısıtlamak gerekir.

---

haklisiniz hocam ekledim sarti da

Answer 1

(Cebirsel sayı tanımı: "$0$ dan farklı, rasyonel katsayılı bir polinomun kökü "şeklinde olmalıdır)

($0$ polinomu hariç) Tamsayı katsayılı polinomların (karmaşık) köklerini sayılabilir (sonsuz) çoklukta olduğunu şöyle göstermek yeterlidir (neden?)

$(a_n\neq0)\ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ ise $M(P)=\sum_{k=0}^n (k+1)|a_k|$ olsun. $\in\mathbb{N}^+$ olur.

$\forall m\in\mathbb{N}^+$ için $M(P)=m$ olacak şekilde (tamsayı katsayılı) sonlu çoklukda polinom vardır.

Bunların tümünün kökleri sonlu çokluktadır.

Bu polinomların köklerinin kümesine $X_m$ diyelim.

Her bir $X_m$ sonlu ve $X=\bigcup_{m=1}^\infty X_m$ oluşundan,  (cebirsel sayılar kümesi) $X$ sayılabilir sonsuz bir kümedir.

Comments

$M(P)=n+\sum_{k=0}^n|a_k|$ de alınabilir.

EK: Her iki durumda da $X_1=\varnothing$ olur.