$[0,1]$ aralığının parçalanışları derken sanırım $[0,1]$ kümesinin parçalanışlarının (partition) sayısı sorulmuyor, zira soruya Riemann integrali etiketi gelmiş. Riemann integrali tanımlanırken yapılan bir aralığın parçalanışı tanımı biraz daha farklı.
Her iki durum için de soruyu cevaplayalım:
-$[0,1]$ aralığının parçalanışlarının kümesi bu küme üzerindeki denklik bağıntılarıyla eşlenebilir. Bu durumda soru bu küme üzerindeki denklik bağıntılarının sayısını soruyor. Bu küme üzerindeki her denklik bağıntısı $\mathcal{P}([0,1]^2)$ kümesinin bir elemanı olduğu için denklik bağıntılarının sayısı üstten $2^{2^{\aleph_0}}$ ile sınırlı. Öte yandan $[0,1]$ aralığının her alt kümesine birebir bir şekilde bir denklik bağıntısı atanabilir. (Verilen alt kümedeki elemanların hepsi tek bir denklik sınıfına konulur, geriye kalan elemanların denklik sınıfları sadece kendilerinden oluşur.) Dolayısıyla en az $2^{2^{\aleph_0}}$ tane denklik bağıntısı bulunabilir. Demek ki bu kümenin tam olarak $2^{2^{\aleph_0}}$ parçalanışı var.
-$[0,1]$ aralığının parçalanışından kasıt şuysa, her parçalanış $(0,1)$ aralığının sonlu bir alt kümesiyle eşlenebileceğinden soru aslında $(0,1)$ kümesinin sonlu alt kümelerinin sayısını soruyor. Bu kümenin kardinalitesinin de $2^{\aleph_0}$ olduğu (yani gerçel sayılarla aynı kardinalitede olduğu) biraz uğraşla gösterilebilir. (İpucu: $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0}=2^{\aleph_0}$)