Gerçel katsayılı polinomlar uzayında aşağıdaki dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Question

$\mathcal{P}=\left\{P:(\forall k\in\mathbb{N})(a_k\in\mathbb{R})\left(P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\right)\right\}$ polinomlar kümesi üzerinde tanımlı $||P||_{\infty}=\max_{1\leq k\leq n} |a_k|$ normuna göre genel terimi $P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ olan $(P_n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(P_n)_n$ Cauchy diszisidir $:\Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists k \in \mathbb{N})(n,m \geq k \Rightarrow ||P_n-P_m||< \varepsilon)^{(\star)}$

$||P_n-P_m||_{\infty}=||\sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}-\sum\limits_{k=0}^m \frac{x^k}{k!}||_{\infty}= ||\sum\limits_{k=m+1}^n \frac{x^k}{k!}||_{\infty}=\max\limits_{k\in[m+1,n]}|\frac{1}{k!}|=\frac{1}{(m+1)! } \leq\frac{1}{2^m}<\varepsilon$

O halde $0<\varepsilon\leq1$ için $k:=\lfloor \log_2\frac{1}{\varepsilon}\rfloor+1\in \mathbb{N} $ seçilirse

$||P_n-P_m||_{\infty}=\ldots \leq \frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{\lfloor \log_2\frac{1}{\varepsilon}\rfloor+1}}<\frac{1}{2^{\log_2\frac{1}{\varepsilon}}}=\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon$

koşulu sağlanır. Diğer taraftan $\varepsilon>1$ için her $k \in \mathbb{N}$ için bu koşul sağlanacağından $(\star)$ önermesi doğrudur. Yani $(P_n)_n$ dizisi bir Cauchy dizisidir.