Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
104 kez görüntülendi
Cauchy dizisi tanımından hareketle sınırlı ve monoton artan her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 104 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Öncelikle teoremde geçen kavramları hatırlatalım:

 

Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.

$$(x_n)_n, \text{ sınırlı}:\Leftrightarrow (\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})(|x_n|\leq M).$$

 

Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.

$$(x_n)_n, \text{ artan}:\Leftrightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(x_n\leq x_{n+1}).$$

 

Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.

$$(x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m|<\epsilon).$$

 

Şimdi kanıta geçebiliriz.

 

Kanıt: $\epsilon>0$ verilmiş olsun. Amacımız her $n,m\geq K$ için $|x_n-x_m|<\epsilon$ koşulunu sağlayacak şekilde en az bir $K\in\mathbb{N}$ sayısının var olduğunu göstermek.

$S:=\{x_n|n\in\mathbb{N}\}$ diyelim.

$\left.\begin{array}{rr} (x_n)_n, \text{ sınırlı}\Rightarrow \emptyset\neq S \text{ sınırlı}\overset{\text{ Tamlık Aksiyomu}}{\Rightarrow} (\exists M\in\mathbb{R})(\sup S=M) \\ \\ \epsilon>0\end{array} \right\} \Rightarrow $

$\begin{array}{l}\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})\left(M-\frac{\epsilon}{2}<x_K\right)\end{array}$

$\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})\left(|M-x_K|<\frac{\epsilon}{2}\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \Rightarrow (\exists K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m| & = & |x_n-M+M-x_m| \\ \\ & \leq & |x_n-M|+|M-x_m| \\ \\ & \overset{(x_n)_n \text{ artan}}{\leq} & |x_K-M|+|M-x_K|\\ \\ & < &\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon).\end{array}$

Tamlık Aksiyomu: Gerçel sayılar kümesinin boştan farklı üstten sınırlı her altkümesinin bir en küçük üst sınırı vardır. Bu linkte yer alan en son aksiyom.

(11.4k puan) tarafından 
20,217 soru
21,750 cevap
73,348 yorum
1,974,708 kullanıcı