Öncelikle teoremde geçen kavramları hatırlatalım:
Tanım: (xn)n bir gerçel sayı dizisi olsun.
(xn)n, sınırlı:⇔(∃M>0)(∀n∈N)(|xn|≤M).
Tanım: (xn)n bir gerçel sayı dizisi olsun.
(xn)n, artan:⇔(∀n∈N)(xn≤xn+1).
Tanım: (xn)n bir gerçel sayı dizisi olsun.
(xn)n, Cauchy dizisi:⇔(∀ϵ>0)(∃K∈N)(n,m≥K⇒|xn−xm|<ϵ).
Şimdi kanıta geçebiliriz.
Kanıt: ϵ>0 verilmiş olsun. Amacımız her n,m≥K için |xn−xm|<ϵ koşulunu sağlayacak şekilde en az bir K∈N sayısının var olduğunu göstermek.
S:={xn|n∈N} diyelim.
(xn)n, sınırlı⇒∅≠S sınırlı Tamlık Aksiyomu⇒(∃M∈R)(supS=M)ϵ>0}⇒
⇒(∃K∈N)(M−ϵ2<xK)
⇒(∃K∈N)(|M−xK|<ϵ2)
⇒(∃K∈N)(n,m≥K⇒|xn−xm|=|xn−M+M−xm|≤|xn−M|+|M−xm|(xn)n artan≤|xK−M|+|M−xK|<ϵ2+ϵ2=ϵ).
Tamlık Aksiyomu: Gerçel sayılar kümesinin boştan farklı üstten sınırlı her altkümesinin bir en küçük üst sınırı vardır. Bu linkte yer alan en son aksiyom.