Cauchy dizisi tanımından hareketle sınırlı ve artan her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Question

Cauchy dizisi tanımından hareketle sınırlı ve monoton artan her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Öncelikle teoremde geçen kavramları hatırlatalım:

 

Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.

$$(x_n)_n, \text{ sınırlı}:\Leftrightarrow (\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})(|x_n|\leq M).$$

 

Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.

$$(x_n)_n, \text{ artan}:\Leftrightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(x_n\leq x_{n+1}).$$

 

Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.

$$(x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m|<\epsilon).$$

 

Şimdi kanıta geçebiliriz.

 

Kanıt: $\epsilon>0$ verilmiş olsun. Amacımız her $n,m\geq K$ için $|x_n-x_m|<\epsilon$ koşulunu sağlayacak şekilde en az bir $K\in\mathbb{N}$ sayısının var olduğunu göstermek.

$S:=\{x_n|n\in\mathbb{N}\}$ diyelim.

$\left.\begin{array}{rr} (x_n)_n, \text{ sınırlı}\Rightarrow \emptyset\neq S \text{ sınırlı}\overset{\text{ Tamlık Aksiyomu}}{\Rightarrow} (\exists M\in\mathbb{R})(\sup S=M) \\ \\ \epsilon>0\end{array} \right\} \Rightarrow$

$\begin{array}{l}\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})\left(M-\frac{\epsilon}{2}<x_K\right)\end{array}$

$\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})\left(|M-x_K|<\frac{\epsilon}{2}\right)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \Rightarrow (\exists K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m| & = & |x_n-M+M-x_m| \\ \\ & \leq & |x_n-M|+|M-x_m| \\ \\ & \overset{(x_n)_n \text{ artan}}{\leq} & |x_K-M|+|M-x_K|\\ \\ & < &\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon).\end{array}$

Tamlık Aksiyomu: Gerçel sayılar kümesinin boştan farklı üstten sınırlı her altkümesinin bir en küçük üst sınırı vardır. Bu linkte yer alan en son aksiyom.