Öncelikle teoremde geçen kavramları hatırlatalım:
Tanım: (xn)n bir gerçel sayı dizisi olsun.
(xn)n, sınırlı:⇔(∃M>0)(∀n∈N)(|xn|≤M).
Tanım: (xn)n bir gerçel sayı dizisi olsun.
(xn)n, artan:⇔(∀n∈N)(xn≤xn+1).
Tanım: (xn)n bir gerçel sayı dizisi olsun.
(xn)n, Cauchy dizisi:⇔(∀ϵ>0)(∃K∈N)(n,m≥K⇒|xn−xm|<ϵ).
Şimdi kanıta geçebiliriz.
Kanıt: ϵ>0 verilmiş olsun. Amacımız her n,m≥K için |xn−xm|<ϵ koşulunu sağlayacak şekilde en az bir K∈N sayısının var olduğunu göstermek.
S:={xn|n∈N} diyelim.
(xn)n, sınırlı⇒∅≠S sınırlı Tamlık Aksiyomu⇒(∃M∈R)(sup
\begin{array}{l}\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})\left(M-\frac{\epsilon}{2}<x_K\right)\end{array}
\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})\left(|M-x_K|<\frac{\epsilon}{2}\right)\end{array}
\begin{array}{rcl} \Rightarrow (\exists K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m| & = & |x_n-M+M-x_m| \\ \\ & \leq & |x_n-M|+|M-x_m| \\ \\ & \overset{(x_n)_n \text{ artan}}{\leq} & |x_K-M|+|M-x_K|\\ \\ & < &\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon).\end{array}
Tamlık Aksiyomu: Gerçel sayılar kümesinin boştan farklı üstten sınırlı her altkümesinin bir en küçük üst sınırı vardır. Bu linkte yer alan en son aksiyom.