Öncelikle teoremde geçen kavramları hatırlatalım:
Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.
$$(x_n)_n, \text{ sınırlı}:\Leftrightarrow (\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})(|x_n|\leq M).$$
Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.
$$(x_n)_n, \text{ artan}:\Leftrightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(x_n\leq x_{n+1}).$$
Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun.
$$(x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m|<\epsilon).$$
Şimdi kanıta geçebiliriz.
Kanıt: $\epsilon>0$ verilmiş olsun. Amacımız her $n,m\geq K$ için $|x_n-x_m|<\epsilon$ koşulunu sağlayacak şekilde en az bir $K\in\mathbb{N}$ sayısının var olduğunu göstermek.
$S:=\{x_n|n\in\mathbb{N}\}$ diyelim.
$\left.\begin{array}{rr} (x_n)_n, \text{ sınırlı}\Rightarrow \emptyset\neq S \text{ sınırlı}\overset{\text{ Tamlık Aksiyomu}}{\Rightarrow} (\exists M\in\mathbb{R})(\sup S=M) \\ \\ \epsilon>0\end{array} \right\} \Rightarrow $
$\begin{array}{l}\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})\left(M-\frac{\epsilon}{2}<x_K\right)\end{array}$
$\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})\left(|M-x_K|<\frac{\epsilon}{2}\right)\end{array}$
$\begin{array}{rcl} \Rightarrow (\exists K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m| & = & |x_n-M+M-x_m| \\ \\ & \leq & |x_n-M|+|M-x_m| \\ \\ & \overset{(x_n)_n \text{ artan}}{\leq} & |x_K-M|+|M-x_K|\\ \\ & < &\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon).\end{array}$
Tamlık Aksiyomu: Gerçel sayılar kümesinin boştan farklı üstten sınırlı her altkümesinin bir en küçük üst sınırı vardır. Bu linkte yer alan en son aksiyom.