Tanım:
(xn)n bir dizi olsun. Eğer her ϵ>0 için,
|xn−xm|<ϵ
eşitsizliğinin her
n,m>N için sağlandığı bir
N göstergeçi varsa,
(xn)n dizisine Cauchy dizisi denir.
Sabit bir ϵ>0 ve m>n için |xm−xn|=|1n−1m|=|m−nmn|<ϵ
yazalım.
m−n<m olduğundan
|1n−1m|=|m−nmn|<mmn=1n
yazabiliriz.
N=1+⌊1ϵ⌋ seçersek
N>1ϵ olur ve
1m<1n<1N eşitsizliği yani
m,n>N sağlanır.
Dolayısıyla
(1n) dizisi bir Cauchy dizisi olur.