Question

Cauchy dizisi tanımından hareketle $\left(\frac{1}{n}\right)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Tanım:

$(x_n)_n$ bir dizi olsun. Eğer her $\epsilon>0$ için,

$$|x_n-x_m|<\epsilon$$ eşitsizliğinin her $n,m>N$ için sağlandığı bir $N$ göstergeçi varsa, $(x_n)_n$ dizisine Cauchy dizisi denir.

 

Sabit bir $\epsilon\gt 0$  ve $m\gt n$ için

$$|x_m-x_n|=|\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}|=|\dfrac{m-n}{mn}|\lt \epsilon$$  yazalım.

$m-n\lt m$ olduğundan $$|\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}|=|\dfrac{m-n}{mn}|\lt \dfrac{m}{mn}=\dfrac{1}{n}$$  yazabiliriz.

$N=1+\lfloor\dfrac{1}{\epsilon}\rfloor$  seçersek  $N\gt \dfrac{1}{\epsilon}$  olur  ve $\dfrac{1}{m}\lt\dfrac{1}{n}\lt\dfrac{1}{N}$ eşitsizliği  yani  $m,n\gt N$    sağlanır.

Dolayısıyla   $(\dfrac{1}{n})$  dizisi bir Cauchy dizisi olur.

Answer 2

$$|x_n-x_m|=\left | \frac1n-\frac1m\right|\leq \frac1n+\frac1m$$ olduğundan her $\epsilon>0$ için $K:=\left\lfloor\frac2{\epsilon}\right\rfloor+1\in\mathbb{N}$ seçilirse

$$n,m\geq K\Rightarrow |x_n-x_m|=\left | \frac1n-\frac1m\right|\leq \frac1n+\frac1m\leq \frac1K+\frac1K=\frac2K=\frac{2}{\left\lfloor\frac2{\epsilon}\right\rfloor+1}<\frac{2}{\frac2{\epsilon}}=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $\left(\frac{1}{n}\right)_n$ dizisi bir Cauchy dizisidir.