Cauchy dizisi olup yakınsak olmayan bir dizi örneği verebilir misiniz? İstediğim dizinin hiçbir yere yakınsamaması. Yani Cauchy dizisinin yakınsak olduğu ama yakınsadığı elemanın kümeye ait olmadığı tipinden örnekler istemiyorum.
Nerede çalışıyorsunuz? Sanırım $\mathbb R$'de değilsiniz. Zîrâ orada Cauchy olmak gerek-yeter şart yakınsaklık için.
Biraz kaba olacak ama uzayda problem yoksa (tamsa!) Cauchy dizisi yakınsar zâten.
Böyle bir örnek bulmak imkansız, çünki
Teorem: $(X,d)$ bir metrik uzay olsun. $X\subseteq X'$ ve $d,\ d'$ nün kısıtlaması olacak şekilde bir $(X',d')$ tam (yani her Cauchy dizisini yakınsak olan) metrik uzayı vardır.
$(X,d)$ deki bir Cauchy dizisi $(X',d')$ de bir dizi olarak düşünüldüğünde de bir Cauhcy dizisi olacak ve yakınsak olacak!
İspatı oldukça mekanik bir şekilde ($\mathbb{Q}$ dan, Cauchy dizileri ile $\mathbb{R}$ nin elde edilişinin Matematik Dünyası (2007 yılı) dergisinde anlatıldığı gibi) yapılıyor.
Örneğin http://www.math.columbia.edu/~nironi/completion.pdf
veya
http://math.northwestern.edu/~scanez/courses/berkeley/math104/fall11/handouts/completion.pdf
(ikisi de İngilizce)
Teşekkürler.
O zaman tam olmayan metrik uzaylarda bir Cauchy dizisinin yakınsak olmama durumu sadece yakınsadığı elemanın o uzaya ait olmamasıyla açıklanıyor. Bunun sebebi de her metrik uzayın bir tamlanışı olduğu ve bu da uzaya ait olmayan elemanı bir şekilde uzaya dahil etmekle yapılıyor. Cauchy dizisi gerçekten yakınsak olmasaydı o uzayı tamlaştıramazdık. Doğru mu anladım acaba?
1- $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ rasyonel dizisi Cauchy dizisidir ve rasyonel sayılar içinde limiti yoktur.
2- $x_n=1-\frac{1}{n}\in(0,1)$ dizisi Cauchy dizisidir ve limiti $(0,1)$ kümesi içinde değildir.
Hic bir yere yakinsamasin demis, kumeye ait olmasa da.