Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
9.5k kez görüntülendi

Cauchy dizisi olup yakınsak olmayan bir dizi örneği verebilir misiniz? İstediğim dizinin hiçbir yere yakınsamaması. Yani Cauchy dizisinin yakınsak olduğu ama yakınsadığı elemanın kümeye ait olmadığı tipinden örnekler istemiyorum.

Lisans Matematik kategorisinde (14 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 9.5k kez görüntülendi

Nerede çalışıyorsunuz? Sanırım $\mathbb R$'de değilsiniz. Zîrâ orada Cauchy olmak gerek-yeter şart yakınsaklık için.

Biraz kaba olacak ama uzayda problem yoksa (tamsa!) Cauchy dizisi yakınsar zâten.


2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Böyle bir örnek bulmak imkansız, çünki

Teorem: $(X,d)$ bir metrik uzay olsun. $X\subseteq X'$ ve $d,\ d'$ nün kısıtlaması  olacak şekilde bir $(X',d')$ tam (yani her Cauchy dizisini yakınsak olan) metrik uzayı vardır.

$(X,d)$ deki bir  Cauchy dizisi $(X',d')$ de bir dizi olarak düşünüldüğünde de bir Cauhcy dizisi olacak ve yakınsak olacak!

İspatı oldukça mekanik bir şekilde ($\mathbb{Q}$ dan, Cauchy dizileri ile  $\mathbb{R}$ nin elde edilişinin Matematik Dünyası (2007 yılı) dergisinde anlatıldığı  gibi) yapılıyor.

Örneğin http://www.math.columbia.edu/~nironi/completion.pdf

veya 

http://math.northwestern.edu/~scanez/courses/berkeley/math104/fall11/handouts/completion.pdf

(ikisi de İngilizce)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Teşekkürler. 

O zaman tam olmayan metrik uzaylarda bir Cauchy dizisinin yakınsak olmama durumu sadece yakınsadığı elemanın o uzaya ait olmamasıyla açıklanıyor. Bunun sebebi de her metrik uzayın bir tamlanışı olduğu ve bu da uzaya ait olmayan elemanı bir şekilde uzaya dahil etmekle yapılıyor. Cauchy dizisi gerçekten yakınsak olmasaydı o uzayı tamlaştıramazdık. Doğru mu anladım acaba? 

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1- $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ rasyonel dizisi Cauchy dizisidir ve rasyonel sayılar içinde limiti yoktur.

2- $x_n=1-\frac{1}{n}\in(0,1)$ dizisi Cauchy dizisidir ve limiti $(0,1)$ kümesi içinde değildir.

(3.7k puan) tarafından 

Hic bir yere yakinsamasin demis, kumeye ait olmasa da. 

20,217 soru
21,750 cevap
73,348 yorum
1,976,066 kullanıcı