Question

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?$$

Answer 1

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan(x)} \,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cot(x) \,dx$
$u=x$, $du=dx$ ve $\cot(x)dx=dv$, $\ln|\sin(x)|=v$ şeklinde kısmi integrasyon uygulanırsa,
$$[x\ln|\sin(x)|]_{0}^{\frac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx=- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx$$ olur.

$I= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx$  olsun.

$$\begin{array}{rcl}     I +I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\cos(x)| \,dx \quad \text{*} \\     2I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\ln|\sin(x)| + \ln|\cos(x)|+\ln2-\ln2) \,dx \\     2I & =& \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln|2\sin(x)\cos(x)| \,dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln2 \,dx \\     2I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(2x)| \,dx -\frac{\pi}{2}\ln2 \\     &&2x = u \quad \text{ ve } \quad 2dx=du \quad \text{ dönüşümleri yapılır  } \\     2I &=& \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\ln|\sin(u)| \,du -\frac{\pi}{2}\ln2 \\     && [0,\pi] \quad \text{ aralığında $\sin$ fonksiyonu simetrik olduğundan } \\     2I &=& \frac{1}{2}\cdot2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(u)| \,du -\frac{\pi}{2}\ln2 \\     && u=x \quad \text{ ve } \quad du=dx \quad \text{ dönüşümleri yapılır } \\     2I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx -\frac{\pi}{2}\ln2 \\     2I & = & I-\frac{\pi}{2}\ln2 \\     I & = & -\frac{\pi}{2}\ln2 \end{array}$$
O halde $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan(x)} \,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cot(x) \,dx=- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx= \frac{\pi}{2}\ln2$ olur.

*:  $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\cos(x)| \,dx$ olduğunu göstermek için $x=\frac{\pi}{2}-t$  ve  $dx=-dt$ dönüşümleri yapılır.
$$\begin{array}{rcl}      \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx &=&\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\ln|\sin(\frac{\pi}{2}-t)| \,(-dt)  \\      &=&-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\ln|\cos(t)| \,dt \\      &=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\cos(t)| \,dt \\      &&\text{$t=x$ ve $dt=dx$ dönüşümleri yapılır} \\      & =&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\cos(x)| \,dx \end{array}$$

Comments

Deniz merhaba. Sana iki sorum olacak. Birincisi her $x\in (0,\frac{\pi}{2}]$ için $\frac{x}{\tan x}\geq 0$ olduğuna göre $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}<0$$ olabilir mi? İkincisi ise integrant sıfırda tanımlı değil. Bu durumda bu integral bir improper integral olmaz mı?

---

Merhaba hocam. İlk sorunuzun cevabı olamaz çünkü burada integral aslında alan hesabı yapıyor fonksiyon pozitifse fonksiyonun altında kalan sonsuz sayıdaki parçalanmanın toplamı da pozitif olacaktır. İkinci sorunuzun cevabı ise evet haklısınız has olmayan integraldir ancak $\lim_{x \to 0} \frac{x}{tanx}= 1$ olduğundan bu integral yakınsaktır.  Dolayısıyla $\lim_{\epsilon \to 0} \int_{0+ \epsilon}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{tanx}\,dx$ çözümü de aynı sonucu verecektir.

---

O zaman $I=-\frac{\pi}{2}\ln 2$ olmamalı, değil mi?

---

Hayır hocam olmalı. Çünkü $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x} \;dx =-I$ ve $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx =-\frac{\pi}{2} \ln 2$