\sin^22x=\dfrac{1-\cos4x}{2} olduğunu biliyoruz. Analiz kitaplarında şöyle bir eşitlik de var Murad hocam:
\int_0^{\infty}e^{-ax}\dfrac{1-\cos rx}{x^2}=\int_0^r\arctan(r/a)dr=r\cdot\arctan(r/a)-(a/2)\ln(a^2+r^2)
Buna göre a=r=4
(1/2)\int_0^{\infty}e^{-4x}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2}=(1/2)\int_0^4\arctan(1)dr=2\cdot\arctan(1)-\ln(32)=\pi/2-\ln32
bulunuyor.