Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
243 kez görüntülendi
$$\int_0^{\infty}\frac{\sin^22x}{x^2\cdot e^{4x}}dx=?$$
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 243 kez görüntülendi
Kısmi integrasyon işe yarar duruyor fakat deneyince birkaç kez kullanmak gerektiği görülüyor. Uzun olduğu için bıraktım şimdilik.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$I(a)=\int_0^{\infty}\frac{\sin^2ax}{x^2\cdot e^{4x}}dx$ diyelim.

$$\begin{array}{rcl} I(a)=\int_0^{\infty}\frac{\sin^2ax}{x^2\cdot e^{4x}}dx & \Rightarrow & \frac{dI}{da}=I'(a)=\int_0^{\infty}\frac{2x\cdot \sin ax\cdot\cos ax}{x^2\cdot e^{4x}}dx \\ \\ & \Rightarrow & I'(a)=\int_0^{\infty}\frac{2\cdot \sin ax\cdot\cos ax}{x\cdot e^{4x}}dx \\ \\ & \Rightarrow & I'(a)=\int_0^{\infty}\frac{\sin 2ax}{x\cdot e^{4x}}dx \\ \\ & \Rightarrow & \frac{d}{da}\left(\frac{dI}{da}\right)=I''(a)=\int_0^{\infty}\frac{2x\cos 2ax}{x\cdot e^{4x}}dx \\ \\ & \Rightarrow & I''(a)=2\int_0^{\infty}\frac{\cos 2ax}{e^{4x}}dx \\ \\ & \Rightarrow & I''(a)=\frac{2}{a^2+4} \\ \\ & \Rightarrow & I'(a)-I'(0)=\int_0^a\frac{2}{x^2+4}dx \\ \\ & \Rightarrow & I'(a)=\arctan\left(\frac{a}{2}\right) \\ \\ & \Rightarrow & I(2)-I(0)=\int_{0}^{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)dx \\ \\ & \Rightarrow & I(2)=\left[-\ln (x^2+4)+x\arctan(\frac{x}{2})+\ln 4\right]_0^2 \\ \\ & \Rightarrow & I(2)=\frac{\pi}{2}-\ln2. \end{array}$$
(11.4k puan) tarafından 
$\sin^22x=\dfrac{1-\cos4x}{2}$ olduğunu biliyoruz. Analiz kitaplarında şöyle bir eşitlik de var Murad hocam:

 

$\int_0^{\infty}e^{-ax}\dfrac{1-\cos rx}{x^2}=\int_0^r\arctan(r/a)dr=r\cdot\arctan(r/a)-(a/2)\ln(a^2+r^2)$

 

Buna göre  $a=r=4$

 

$(1/2)\int_0^{\infty}e^{-4x}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2}=(1/2)\int_0^4\arctan(1)dr=2\cdot\arctan(1)-\ln(32)=\pi/2-\ln32$

bulunuyor.
İşlem hatası yapmış olabilirim. Yarın tekrar kontrol edeyim.
Alper işlem hatası yok. Online olarak bir sitede de hesaplattım. Sonuç benim bulduğum sonuç ile aynı.
20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,137,211 kullanıcı