Question

$$\int_0^1\frac{\ln (x+1)}{x^2+1}dx=?$$

Answer 1

Karşılaştığım bir çözümü aktaracağım.

Çözüm için $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ fonksiyonu integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f\left(a+b-x\right)dx$$ eşitliğinden faydalanacağız. Kanıtı burada mevcut.

$$x=\tan\theta$$ dönüşümü ile $$I=\int_0^1 \dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2} dx = \int_0^{\frac\pi4} \ln(1+\tan\theta) d \theta$$ yazılabilir.

$$\begin{array}{rcl} I & = & \int_0^{\frac\pi4} \ln(1+\tan\theta) d\theta \\ \\ & = &  \int_0^{\frac\pi4} \ln(1+\tan(\frac\pi4-\theta)) d\theta \\ \\ & = & \int_0^{\frac\pi4} \ln\left(1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right)d\theta \\ \\ & = & \int_0^{\frac\pi4} \ln\frac2{(1+\tan\theta)}d\theta \\ \\ & = & \int_0^{\frac\pi4} \{\ln2-\ln(1+\tan\theta)\}d\theta \\ \\ & = & \int_0^{\frac\pi4} \ln2- \int_0^{\frac\pi4}\ln(1+\tan\theta)d\theta \\ \\ & = & \int_0^{\frac\pi4} \ln2d\theta-I\end{array}$$

olur.  Buradan da

$2I=\int_0^{\frac\pi4} \ln2d\theta\Rightarrow I= \frac{\pi \ln(2)}{8}$

 

bulunur.