$\bigcup [a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}]=(a,b)$ olduğunu gösterin.

Question

$\bigcup_{n\in N} [a+1/n,b-1/n] \subset (a,b)$ kısmında göstermekte sıkıntı yaşamıyorum.
    Fakat $(a,b)\subset \bigcup_{n\in N} [a+1/n,b-1/n]$ göstermekte sıkıntı yaşıyorum. \\
    $x\in (a,b) \Rightarrow a<x<b$ bu kısımda bir $n_o$ seçmem gerekiyor ne seçeceğim bilemedim

Comments

a+1/n<x ve x<b-1/n
bu ikisini de sağlayacak n nasıl olmalı? eşitlik gibi düşünebilirsin ilk.

---

n doğal sayı olduğundan n=2 alsam bunun için sağlıyorsa n'ler içinde sağlıyor desem tümevarımdan olur mu?

---

Sitede bu sorunun aynısı var diye hatırlıyorum. Sitedeki sorulara baktın mı? Bu linkte sorunun doğru sorulmuş hali var. Soru bu haliyle biraz pürüzlü. Şöyle ki:

$[a,b]$ kapalı aralığı $$[a,b]:=\{x|a\leq x\leq b\}$$ şeklinde tanımlanır. Dolayısıyla aralığın sol ucu, aralığın sağ ucundan küçük veya en kötü ihtimalle eşit olması gerekir (Aralığın sol ucu, sağ ucuna eşit olduğu durumlarda bu aralığa dejenere aralık diyoruz) Bu durumda (belirtilmemiş olsa da $a,b\in\mathbb{R}$ olarak düşünüldüğünü varsayıyorum) aralığın sol ucu sağ ucundan küçük veya eşit yani her $a,b\in\mathbb{R}$ ve her $n\in\mathbb{N}$ için  $$a+\frac{1}{n}\leq b-\frac{1}{n}$$ yani $$b-a-\frac{2}{n}\geq 0\ldots (*)$$ olmalıdır. Ancak $a=1, b=2$ ve $n=1$ için $(*)$ koşulu sağlanmaz. Bu yüzden dolayı soru biraz pürüzlü dedim. Pürüzsüz halini yukarıdaki linkten ulaşabilirsin. 

---

x'e göre değişir n.

---

@aysemr77 ;

Arşimet özelliğini biliyor musun?

---

Evet biliyorum ..
Her reel sayıdan büyük bir doğal sayı vardır ya da bazı yerlerde her reel sayıdan küçük bir doğal sayı vardır olarak da tanımlanır.