$(\mathrm{card } A\leq\mathrm{card } B\quad\mbox{ ve }\quad \mathrm{card } A\geq\mathrm{card } B)$ ise $(\mathrm{card } A=\mathrm{card } B)$

Question

Merhabalar, $A,B$ boş olmayan iki küme olmak üzere aşağıdaki tanımları yapalım.

1. Eğer A ile B arasında bire bir, örten fonksiyon varsa $\mathrm{card } A=\mathrm{card } B$ denir.

2. Eğer A'dan B'ye bire bir fonksiyon varsa $\mathrm{card } A\leq\mathrm{card } B$ denir.

3. Eğer A'dan B'ye örtne fonksiyon varsa $\mathrm{card } A\geq\mathrm{card } B$ denir.

$(\mathrm{card } A=\mathrm{card } B)\Rightarrow(\mathrm{card } A\leq\mathrm{card } B\quad\mbox{ ve }\quad \mathrm{card } A\geq\mathrm{card } B)$ olduğu açıktır. Tersi doğru mudur?

Comments

Bir koşullu önermenin tersi ile karşıtı farklı şeylerdir. 

$p$ ve $q$ herhangi iki önerme olmak üzere

$p\rightarrow q$ koşullu önermesinin $\textbf{tersi}$ $p'\rightarrow q'$ koşullu önermesidir.

$p\rightarrow q$ koşullu önermesinin $\textbf{karşıtı}$ ise $q\rightarrow p$ koşullu önermesidir.

Hangisini soruyorsunuz?

---

\rightarrow yerine \Rightarrow komutu kullanırsanız $\Rightarrow$ işaretini elde edersiniz.  

Answer 1

Evet. Eğer A'dan B'ye örten bir $f$ fonksiyonu varsa, seçim beliti ile B'den A'ya birebir bir fonksiyon bulabilirsiniz. B'nin her elemanı $b \in B$ için $f^{-1}(b)$ varsayım gereği boş değildir. Şimdi tüm bu boş olmayan ters görüntüler ailesini bir araya toplayıp her $b \in B$ için bir $a_b \in f^{-1}(b)$ seçelim. Bu durumda, $g(b)=a_b$ birebir bir fonksiyon olur.

Elinizde A'dan B'ye ve B'den A'ya birebir fonksiyonlar varsa da, Cantor-Schröder-Bernstein teoremi gereği A ve B arasında bir eşleme vardır.