$G$ değişmeli bir grup, $ a,b \in G, |a|=n ,|b|=m$ ve $(n,m)=1$ $\to |ab|=mn$ olduğunu gösterin.

Question

$G$ değişmeli bir grup, $a,b \in G, |a|=n ,|b|=m  \to |ab|=mn$ olduğunu gösterin.

Yukarıdaki bilgilere göre $a^n=e_G$ ve $b^m=e_G$ olduklarını biliyoruz.

$ab$'nin mertebesi için, $ab$'yi kaç defa kendisi ile çarparsak sonucu $e_G$ buluruz sorusuna, şunu yazdım.

$(ab)(ab)(ab)...= (aa)(bb)(ab)(ab)...=a^nb^n=1$

Ayrıca şunu söylemek istiyorum. Bu soru, vakti zamanında sorulmuş ve kapatılmış bir soruydu. Sorunun kendisi bulamadım bende yeniden yazdım.

Comments

Sorduğun soruyla verdiğin cevap birbiriyle örtüşmüyor sanki? Acaba soruyu mu yanlış yazdın? (Kesin bir yanlışlık var da, kaynağını merak ediyorum).

---

link, hocam soruyu paylaştım. Linki yanda çıkan sorulardan buldum.İlk soruyu paylaştığımda çıkmamıştı. Soruyu kapatabiliriz.

Şimdi bende şu iki elemanı aldım. $|2|=5$ ve $|3|=5$ , $Z_5$ toplamaya göre bir grup içinde çalıştığımızı düşünelim. $2$ ve $3$'ün üzerindeki çizgileri şuan yazamadım.

$2.3=6=1 \to |2.3|=5 \ne 5.5=0$ 

---

Hocam benim yukarıda yazdıklarımdan yanlış olan ne?

---

Bu iddia doğru değil.

Bir koşul eksik.

Aynı soru, ilgili sorular da görünüyor.

---

hocam hangi koşulu eklemeliyiz

---

Bu, standart bir lisans düzeyi cebir sorusudur.

Ayrıca,$a^n=e$ olması, $|a|=n$ olduğunu göstermez.

---

hımm evet evet haklısınız. şunu mu demeliyiz

a'nın mertebesi n yi bölmeli

---

Ayrıca, bizim elimizde olan a nın mertebesinin n olduğu, ben bundan yola çıkarak direk $a^n=e_G$ yazdım

---

Ben, orada,  $a$ ile grubun herhangi bir elemanını kast ettim.

Şunu söylemek istedim aslında $(ab)^{mn}=e$ olması, $|ab|=mn$ olması için yeterli değildir.

EK: mertebenin tanımını yazabilir misin?

---

bir elemani mertebesi her zaman pozitif oduğundan 0 alamazsınız...yanır örneği da destekleniyor.

Answer 1

Tanım (elemanı mertebesi ) G bir grup ve $a\in G$ olsun. EĞER $a^t = e_G$ olacak biçimde bir t pozitif tamsayısı varsa bu pozitif t tamsayılarıın en küçüğüne a nin mertebesi denir. Böyle bir sayi olmadiği durumda $|a| = \infty$

Soruyu aşağıdaki şeklinde sorarsanız daha doğru olabilir : 
Soru :G değişmeli bir Grup $ a,b \in G $ olsun;

$( |a| = n \in \mathbb{N} ) ( |b| = m \in \mathbb{N} ) \Rightarrow |ab| / mn $  yani $|ab|, mn $'i böler

Çünkü diğer şekline olsaydi yanlış olurdu örneğın :

$(\mathbf{C}^*,.)$ grubunu ele alalim : $|i|= 4 ,|-1|= 2$ fakat $|-1.i|=|-i| = 4 \neq 8 = |i|.|-1|$

Çözüm :

1. iddam : G bir Grup ; $a\in G $ olsun ;

$(|a|= t ) (a^k = e_G \Rightarrow t/k ).$

Kanit 1.iddam : $K:= < a >$ alırsak, sonlu bir devırlı grup olduğundan 1.ıddamı devırlı grubun ana özelıklerınden birine denk olur.

2. iddam. $ a,b \in G $ olsun;

$( |a| = n \in \mathbb{N} ) ( |b| = m \in \mathbb{N} ) \Rightarrow |ab| / mn $  yanı soruya cevablayalım

Kanıt  (Ana soruya ): $ a,b \in G $ ve $|a| = n,|b| = m$ olsun

$\left.\begin{array}{rr} 
|a| = n \Rightarrow a^n = e_G \\ \\|b| = m \Rightarrow b^m = e_G \end{array}    \right\}  \Rightarrow (ab)^{mn}=a^{mn}.b^{mn} = e_G $

1.iddam gereğınce $|ab|/ mn$ olur.

Comments

"$|ab|/mn$" ile "$|ab|$, $mn$ yi böler " demek istiyorsun sanırım, bu doğru. (Şöyle yazabilirsin: $|ab|\mid mn$)

1. iddia, zaten mertebenin tanımı içinde (açıkça olmasa bile) var.

Ama $|ab|$ yi tam olarak bulmak da mümkün, sorulan o sanırım.

---

G devirli bir grup ise mümkündür fakat devirli değilse m ve n bilmek yeterli olmadiğini düşünüyorum

---

$G$ nin değişmeli olması durumunda da basit bir formülü var.

---

Ben onu hattırlamadım...ama $|ab| = mn$ her zaman olmadiğini daire yükarda örnek vermiştım. m yada n ' e mi eşit oluyordu Doğan hocam ?

---

Hayır. O kadar da basit değil.

---

$(\mathbb{Z}_6,+)$ grubunda $|\bar{2}|=3,\ |\bar{3}|=2$ ve $|\overline{2}+\bar{3}|=6=2\cdot3$

$(\mathbb{Z}_{12},+)$ grubunda $|\bar{2}|=6,\ |\bar{3}|=4$ ve $|\overline{2}+\bar{3}|=12\neq6\cdot 4$

---

Göresel olarak sankı ekok(m,n) eşit olacağını hisediyorum... kanıtı yapmaya çalışcağım...

---

Bu cevap hatalı.

Evet ekok(m,n) 

---

Teşekkür ederım Hocam.. Ben kanıtını yaptım

Soru şöyle şeklinde olmalı :

Soru : $G$ değişmeli bir grup , $a,b\in G$  ve $|a|=n ,|b|= m$ olmak üzere :

$ obeb(m,n) = 1 \Rightarrow |ab| =  mn$

Büyük ihtimali  sametoytun sormak istediği buydu

Kanıtı yukarda verdığım kanıtı yola çıkartarak kolayca yapılır.

çok da zor değil okuyuculara da uğraşsin istiyorum ondan hemen burda yazmiyorum.

---

Bana da cevap  ekok gibi geldi ama değil.

($a\neq e,\ b=a^{-1}$ karşı örnek)

Soru daha önce de söylediğim gibi eksik. Soru senin yorumundaki gibi:

"$m$ ve $n$ aralarında asal ise $|ab|=mn$ olur"olmalıydı.

---

Aaa evet öyle... onu ispati yaptım. sonra burdan ekleyeceğım.

---

$|ab|=|a||b| / ebob(|a|, |b|) $ midir

---

yok böyle de değil, genelleştirmek istemiştim

Answer 2

$G$ değişmeli grup. $\forall a,b \in G, |a|=n ,|b|=m$ olsun öyleki $(n,m)=1$. Göstermek istediğimiz şu: $|ab|=nm$

Şunu ele alalım: $(ab)^{nm}=a^{nm}b^{nm}=(a^n)^m.(b^m)^n=1$ demekki $|ab|$ $|$ $ nm$

$|ab|=r$ olsun. $1=(ab)^r \to 1^n=(ab)^{rn} = a^{rn}b^{rn}=b^{rn}$ Buradan $m$ $|$ $rn$ dahası, $(n,m)=1$ olduğundan $m$ $|$ $r$

Aynı şekilde şunu da elde edebiliriz: $n$ $|$ $r$. Demekki $mn$ $|$ $r$. Sonuç olarak $mn=r$