Tanım (elemanı mertebesi ) G bir grup ve a∈G olsun. EĞER at=eG olacak biçimde bir t pozitif tamsayısı varsa bu pozitif t tamsayılarıın en küçüğüne a nin mertebesi denir. Böyle bir sayi olmadiği durumda |a|=∞
Soruyu aşağıdaki şeklinde sorarsanız daha doğru olabilir :
Soru :G değişmeli bir Grup a,b∈G olsun;
(|a|=n∈N)(|b|=m∈N)⇒|ab|/mn yani |ab|,mn'i böler
Çünkü diğer şekline olsaydi yanlış olurdu örneğın :
(C∗,.) grubunu ele alalim : |i|=4,|−1|=2 fakat |−1.i|=|−i|=4≠8=|i|.|−1|
Çözüm :
1. iddam : G bir Grup ; a∈G olsun ;
(|a|=t)(ak=eG⇒t/k).
Kanit 1.iddam : K:=<a> alırsak, sonlu bir devırlı grup olduğundan 1.ıddamı devırlı grubun ana özelıklerınden birine denk olur.
2. iddam. a,b∈G olsun;
(|a|=n∈N)(|b|=m∈N)⇒|ab|/mn yanı soruya cevablayalım
Kanıt (Ana soruya ): a,b∈G ve |a|=n,|b|=m olsun
|a|=n⇒an=eG|b|=m⇒bm=eG}⇒(ab)mn=amn.bmn=eG
1.iddam gereğınce |ab|/mn olur.