$f : [0,1] \to \mathbb{R} \quad \land \quad f \text{ surekli } \quad \implies \int_\mathbb{R} |f(x)|^2 dx < \infty$

Question

Okudugum su pdf te soyle bir iddia var ( 4.sayfa example 3.3 )
$f : [0,1] \to \mathbb{R}   \quad \land \quad f \text{ surekli }  \quad \implies \int_\mathbb{R} |f(x)|^2 dx < \infty$

Ilk bakista neden boyle oldugunu goremedim. Nasil yaklasmaliyim bu soruya?

Comments

Öncelikle, integralin sınırları $0$'dan $1$'e kadar. O önemli. Onun dışında ( "extreme value theorem" diye geçer ) eğer elinde sürekli bir fonksiyon varsa, kapalı bir aralıkta minimum ve maksimum değerini alır bu fonksiyon. Buna bile gerek kalmadan, sürekli bir fonksiyonun kapalı bir aralıkta sınırlı olduğunu kullanabiliriz.

Bu fonksiyon üstten A, alttan B ile sınırlı olsun. $C=\max\{|A|, |B|\}$ al. O zaman elindeki integral $\int_0^1 C^2 dx = C^2 $ ile sınırlıdır.

---

anladim, o zaman her kapali aralikta dogru olacak bu ama tum $\mathbb{R}$ icin dogru degil eger dogru anladiysam

---

Evet. Örnek olarak herhangi bir sabit fonksiyonu düşünebilirsin.