Düzgün Süreklilik-XVIII

Question

$E:=[(E,\oplus),\odot,(\mathbb{F},+,\cdot),\| \cdot \|]$ normlu lineer uzay olmak üzere $$\phi(x,y):=x\oplus y$$ kuralı ile verilen $$\phi:E\times E\to E$$ fonksiyonunun düzgün sürekli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \epsilon$ seçilirse her $(x,y),(z,t)\in E\times E$  için

$\|(x,y)-(z,t)\|_{E\times E}=\|(x-z,y-t)\|_{E\times E}=\|x-z\|_{E}+\|y-t\|_{E}<\delta$

$\Rightarrow$

$\|\phi(x,y)-\phi(z,t)\|_{E}=\|x\oplus y-z\oplus t\|_{E}=\|(x-z)\oplus (y-t)\|_{E}\leq \|x-z\|_{E}+\|y-t\|_{E}<\delta\leq \epsilon$

koşulu sağlanır. O halde $\phi$ fonksiyonu, $E\times E$ kümesi üzerinde düzgün süreklidir.