Normlu lineer uzaylarda düzgün süreklilik

Question

$||\cdot||_0:\mathcal{C}^2[0,1]\to\mathbb{R}, \ ||f||_0:=\int_{0}^{1}|f(x)|dx$

$||\cdot||_1:\mathcal{C}^2[0,1]\to\mathbb{R}, \ ||f||_1:=\sup_{x\in [0,1]} |f(x)|$

$||\cdot||_2:\mathcal{C}^2[0,1]\to\mathbb{R}, \ ||f||_2:=|f(0)|+\sup_{x\in [0,1]} |f'(x)|$

$||\cdot||_3:\mathcal{C}^2[0,1]\to\mathbb{R}, \ ||f||_3:=|f(0)|+|f'(0)|+\sup_{x\in [0,1]} |f''(x)|$ olsun.

Her $f,g\in\mathcal{C}[0,1]$ ve her $i\in\{0,1,2,3\}$ için $$\phi_i(t):=||f+tg||_i$$ kuralı ile verilen $$\phi_i:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{\geq 0}$$ fonksiyonlarının düzgün sürekli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$i\in\{0,1,2,3\}$ olmak üzere her $\phi_i$ fonksiyonunun $\mathbb{R}$'de düzgün sürekli olduğunu göstermek için
$$(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall t_1,t_2\in\mathbb{R})(|t_1-t_2|<\delta\Rightarrow |\phi_i(t_1)-\phi_i(t_2)|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

Verilmiş $\epsilon>0$ için $\delta>0$ sayısını nasıl seçmemiz gerektiğini anlamak için $$|\phi_i(t_1)-\phi_i(t_2)|$$ ifadesi üzerinde biraz hesap yapalım.

$$\begin{array}{rcl} |\phi_i(t_1)-\phi_i(t_2)| & = & \Big{|}||f+t_1g||_i-||f+t_2g||_i\Big{|} \\ \\ & \leq & \Big{|}||f+t_1g-f-t_2g||_i\Big{|} \\ \\ & = & ||t_1g-t_2g||_i \\ \\ & = & ||(t_1-t_2)g||_i \\ \\ & = & |t_1-t_2|\cdot ||g||_i \\ \\ & < & |t_1-t_2| \cdot (1+||g||_i) \\ \\ & < & \delta \cdot (1+||g||_i)\end{array}$$

elde edilir. O halde her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \frac{\epsilon}{1+||g||_i}$ seçilirse her $t_1,t_2\in\mathbb{R}$ için

$$\begin{array}{rcl} |t_1-t_2|<\delta\Rightarrow |\phi_i(t_1)-\phi_i(t_2)| & = & \Big{|}||f+t_1g||-||f+t_2g||\Big{|} \\ \\  & < & \delta\cdot(1+||g||_i) \\ \\ & \leq & \frac{\epsilon}{1+||g||_i}\cdot (1+||g||_i) \\ \\ & = & \epsilon\end{array}$$
koşulu sağlanır. O halde $\phi_i$ fonksiyonları $\mathbb{R}$'de düzgün süreklidir.