Question

$X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ olmak üzere $$(\exists !\tau\subseteq 2^X)(\tau, X\text{'de topoloji})(\mathcal{A}, \tau \text{ için altbaz})$$ olduğunu gösteriniz.

Tanım: $X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ olmak üzere
$$\tau_{\mathcal{A}}:=\left\{\bigcup\mathcal{B}^*\big{|}\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B}=\left\{\bigcap\mathcal{A}^*\big{|}(\mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)\right\}\right\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. Bu topolojiye $\mathcal{A}$ ailesinin doğurduğu topoloji denir.

Answer 1

$\mathcal{A}$ ailesinin sonlu altailelerinin kesişimlerinden oluşan $$\mathcal{B}:=\left\{\bigcap\mathcal{A}^*\big{|}(\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)\right\}$$ ailesinin, $X$ kümesi üzerinde bir $\tau$ topolojisine baz olma şartlarını sağladığını göstermek yeter.

 

$\left.\begin{array}{rr} \mathbf{b_1)} \ \  (\mathcal{A}^*:=\emptyset)(|\mathcal{A}^*|=0<\aleph_0)\Rightarrow \bigcap\mathcal{A}^*=X \\ \\ \mathcal{B}:=\left\{\bigcap\mathcal{A}^*\big{|}(\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)\right\}\end{array}\right\}\Rightarrow X\in\mathcal{B}\Rightarrow \bigcup\mathcal{B}=X.$

 

$\mathbf{b_2)}$ $B_1,B_2\in\mathcal{B}$ olsun.

 

$\left.\begin{array}{rr} B_1\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}_1^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}_1^*|<\aleph_0)(B_1=\bigcap\mathcal{A}_1^*) \\ \\ B_2\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}_2^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}_2^*|<\aleph_0)(B_2=\bigcap\mathcal{A}_2^*)\end{array}\right\}\Rightarrow $

 

$\Rightarrow (\mathcal{A}_1^*\cup\mathcal{A}_2^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}_1^*\cup\mathcal{A}_2^*|<\aleph_0)(B_1\cap B_2=\bigcap(\mathcal{A}_1^*\cup\mathcal{A}_2^*))$

 

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow B_1\cap B_2\in\mathcal{B} \Rightarrow \{B_1\cap B_2\}\subseteq \mathcal{B}\\ \\ \mathcal{B}^*:=\{B_1\cap B_2\}\end{array}\right\}\Rightarrow (\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B})(B_1\cap B_2=\cup\mathcal{B}^*).$

 

$\mathcal{B}$ ailesinin altailelerinin birleşimleri alınarak elde edilen $$\tau:=\{\cup\mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B}\}$$ ailesi, $X$ üzerinde $\mathcal{A}$ ailesini altbaz kabul eden bir topolojidir ve bu linkte bulunan teorem gereğince bu topoloji tektir.