τA=minT olduğunu göstermek için τA∈T ve ∀τ(τ∈T⇒τA⊆τ) önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
τA∈T olduğunu göstermek için τA ailesinin A⊆τA koşulunu sağlayan X'de bir topoloji olduğunu göstermeliyiz. τA ailesinin X'de topoloji olduğunu göstermek zor değil. Hatta bunu bir soru olarak siteye ekleyeyim. A⊆τA olduğunu gösterelim.
A∈A olsun.
A∈AA∗:={A}}⇒(A∗⊆A)(|A∗|=1<ℵ0)⇒A=⋂A∗∈BB∗:={A}}⇒
⇒(B∗⊆B)(A=∪B∗)τA={∪B∗|B∗⊆B}⇒A∈τA
O halde A⊆τA olur. Dolayısıyla τA∈T…(1) önermesinin doğru olduğunu göstermiş olduk.
Şimdi de ∀τ(τ∈T⇒τA⊆τ) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.
τ∈T olsun. Amacımız τA⊆τ olduğunu göstermek.
T∈τA alalım.
T∈τA⇒(∃B∗⊆B)(T=∪B∗=⋃B∈B∗B)
⇒(∀B∈B∗)(∃A∗B⊆A)(|A∗B|<ℵ0)(T=⋃B∈B∗(⋂A∗B))τ∈T⇒(A⊆τ)(τ,X'de topoloji)}⇒T∈τ olur. Yani ∀τ(τ∈T⇒τA⊆τ)…(2) önermesi de doğru.
O halde (1),(2)⇒τA=minT elde edilir.