$X \neq \emptyset$ küme, $\mathcal{A} \subseteq 2^X$ ailesi sonlu kesişim özelliğine sahip ve $\mathcal{T}=\{\mathcal{F}|(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})(\mathcal{F},X \text{'de filtre})\}$ olmak üzere $$\mathcal{F}_{\mathcal{A}} = \min\mathcal{T}$$ olduğunu gösteriniz.

Question

$X \neq \emptyset$ küme, $\mathcal{A} \subseteq 2^X$ ailesi sonlu kesişim özelliğine sahip ve $\mathcal{T}=\{\mathcal{F}|(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})(\mathcal{F},X \text{'de filtre})\}$ olsun.
$$\mathcal{F}_{\mathcal{A}} = \min\mathcal{T}.$$

 

Tanım: $X \neq \emptyset$ küme ve $\mathcal{A} \subseteq 2^X$ ailesi sonlu kesişim özelliğine sahip olmak üzere $\mathcal{A}$ ailesinin doğurduğu filtre 
$$\mathcal{F}_{\mathcal{A}}:=\left\{F| F \supseteq G \in \mathcal{M}= \left\{\bigcap \mathcal{A}^* \big{|} (\mathcal{A}^* \subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|< \aleph_0)\right\}\right\}$$ şeklinde tanımlanır.

Answer 1

Amacımız $\mathcal{F}_{\mathcal{A}}=\min \mathcal{T}$ olduğunu göstermek. Bunun için de $$\mathcal{F}_{\mathcal{A}}\in\mathcal{T}$$ ve $$\forall \mathcal{F}(\mathcal{F} \in \mathcal{T} \Rightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{A}} \subseteq \mathcal{F})$$ önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
 

$\mathcal{F}_{\mathcal{A}}\in\mathcal{T}$ olduğunu gösterelim. Bunun için de  $\mathcal{F}_{\mathcal{A}}$ ailesinin $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{F}_{\mathcal{A}}$ koşulunu sağlayan $X$'de bir filtre olduğunu göstermeliyiz. $\mathcal{F}_{\mathcal{A}}$ ailesinin $X$'de bir filtre olduğunu bir önceki teoremde göstermiştik.
$\mathcal{A}\subseteq \mathcal{F}_{\mathcal{A}}$ olduğunu gösterelim.

$A \in \mathcal{A}$ olsun.
$\left.\begin{array}{r} A \in \mathcal{A} \\ \\ \mathcal{A}^*:=\{A\} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{l} \\ \\ \!\! \left. \begin{array}{rr} (\mathcal{A}^ *\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|=1 < \aleph_0)\Rightarrow A\supseteq A = \bigcap \mathcal{A}^* \in \mathcal{M} \\ \\ \mathcal{F}_{\mathcal{A}}=\{F|F\supseteq G\in\mathcal{M}\} \end{array} \right\} \Rightarrow A \in \mathcal{F}_{\mathcal{A}}. \end{array}$

Dolayısıyla  $$\mathcal{F}_{\mathcal{A}}\in\mathcal{T}\ldots (1)$$elde edilir.

Şimdi de  $$\forall \mathcal{F}(\mathcal{F}\in\mathcal{T}\Rightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{A}}\subseteq \mathcal{F})$$ önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

$\mathcal{F}\in\mathcal{T}$ olsun. Amacımız $\mathcal{F}_{\mathcal{A}}\subseteq \mathcal{F}$ olduğunu göstermek.

$F\in\mathcal{F}_{\mathcal{A}}$ alalım.
$$\left.\begin{array}{rr}F\in\mathcal{F}_{\mathcal{A}}\Rightarrow (\exists G\in \mathcal{M})(G\subseteq F)\Rightarrow (\exists \mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)\left(G=\bigcap \mathcal{A}^*\subseteq F\right) \\ \\ \mathcal{F}\in\mathcal{T}\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \mathcal{F})(\mathcal{F}, \  X\text{'de filtre})\end{array}\right\}\Rightarrow  F\in\mathcal{F}$$ olur. Yani $$\forall \mathcal{F}(\mathcal{F}\in\mathcal{T}\Rightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{A}}\subseteq \mathcal{F})\ldots (2)$$ önermesi de doğru.

O halde $$(1),(2)\Rightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{A}} = \min\mathcal{T}.$$