$(\Rightarrow):$ $\mathcal{F},$ $X$'de ultrafiltre ve $A\in 2^X$ olsun. $\left.\begin{array}{r} \mathcal{F}, \ X\text{'de filtre}\Rightarrow X\in\mathcal{F} \\ \\ A\in 2^X\Rightarrow A\cup A^c=X \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{c} A\cup A^c\in\mathcal{F} \\ \mbox{} \\ \mathcal{F}, \ X\text{'de ultrafiltre}\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow} A\in\mathcal{F}\vee A^c\in\mathcal{F}.\!\!\!\!\!\end{array}$ Son adımdaki $(?)$ işaretinin gerekçesi bu linkte. $(\Leftarrow):$ $\mathcal{F}, \ X$'de filtre ve $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}'$ olsun. Amacımız $\mathcal{F}=\mathcal{F}'$ olduğunu göstermek. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}'$ olduğundan $\mathcal{F}'\subseteq \mathcal{F}$ olduğunu göstermek yeterli olacaktır. $A\in\mathcal{F}'$ alalım. Bu durumda $A\in\mathcal{F}$ olduğunu gösterirsek ispat biter. $\left.\begin{array}{r} \mathcal{F}, X\text{'de filtre}\Rightarrow X\in\mathcal{F} \\ \\ X=A^c\cup A \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{l} \\ \\ \!\! \left. \begin{array}{rr} A^c\cup A\in\mathcal{F} \\ \\ \text{Hipotez} \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$ $\left.\begin{array}{r} \Rightarrow A^c\in\mathcal{F}\vee A\in\mathcal{F} \\ \\ \mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}' \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{l} \\ \\ \!\! \left. \begin{array}{rr} A^c\in\mathcal{F}'\vee A\in\mathcal{F} \\ \\ A\in\mathcal{F}' \end{array} \right\}\Rightarrow \end{array}$ $\Rightarrow (A^c\in\mathcal{F}'\vee A\in\mathcal{F})\wedge A\in\mathcal{F}'$ $\Rightarrow (A^c\in\mathcal{F}'\wedge A\in\mathcal{F}') \vee (A\in\mathcal{F}\wedge A\in\mathcal{F}')$ $\Rightarrow A^c\cap A\in\mathcal{F}'\vee A\in\mathcal{F}$ $\Rightarrow \underset{0}{\underbrace{\emptyset\in\mathcal{F}'}}\vee A\in\mathcal{F}$ $\Rightarrow A\in\mathcal{F}.$