(X,τ) topolojik uzay;
A,
τ için altbaz ve
AY:={Y∩A|A∈A} olsun.
Amacımız
AY ailesinin
τY altuzay (relatif) topolojisi için altbaz olduğunu göstermek. Bunun için de
AY:={Y∩A|A∈A}⊆τY
olduğunu ve
BY:={⋂A∗Y|(A∗Y⊆A)(|A∗Y|<ℵ0)}
ailesinin
τY altuzay topolojisi için baz olduğunu göstermeliyiz.
A,τ için baz⇒A⊆ττY:={Y∩T|T∈τ}}⇒AY:={Y∩A|A∈A}⊆τY…(1)
Şimdi de
BY:={⋂A∗Y|(A∗Y⊆A)(|A∗Y|<ℵ0)}
ailesinin
τY altuzay topolojisi için baz olduğunu gösterelim. Bunun için de
BY⊆τY
ve
(∀U∈τY)(∃B∗⊆BY)(U=∪B∗Y)
önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
S∈BY olsun.
S∈BY⇒(∃A∗Y⊆AY)(|A∗Y|<ℵ0)(S=∩A∗Y)A∗∗:={A|Y∩A∈A∗Y}}⇒
⇒(A∗∗⊆A)(|A∗∗|<ℵ0)(S=∩B∈A∗YB=∩A∈A∗∗(Y∩A)=Y∩(∩A∗∗)A,τ için altbaz}⇒
⇒(∩A∗∗∈τ)(S=Y∩(⋂A∗∗))
⇒S∈τY.
O halde
BY⊆τY…(2)
Şimdi de
U∈τY olsun.
U∈τY⇒(T∈τ)(U=Y∩T)A,τ için altbaz⇒B:={∩A∗|(A∗⊆A)(|A∗|<ℵ0)},τ için baz}⇒
⇒(∃B∗⊆B)(U=Y∩(∪B∗)=Y∩(∪B∈B∗B)=∪B∈B∗(Y∩B))
⇒(∀B∈B∗)(∃AB⊆A)(|AB|<ℵ0)(U=∪B∈B∗(Y∩(∩AB)))B∗Y:={Y∩(∩A∗B)|B∈B∗}}⇒
⇒(B∗Y⊆BY)(U=∪B∗Y)…(3)
(2),(3)⇒BY,τY için baz…(4)
(1),(4)⇒AY,τY için altbaz.