Topolojik Uzaylarda Baz-IX

Question

$\mathbb{R}$ 'de $\tau=\{A|0\in A\}\cup \{\emptyset\}$

ailesi $\mathbb{R},$ kümesi üzerinde bir topolojidir.

Bu topoloji için bir baz yazınız.

Ben aşağıdaki şekilde buldum. Başka neler olabilir?

$\mathcal{B} =\left\{\{0,x\}\big{|}x \in \mathbb{R}\backslash\{0\}\right\}\cup\{\{0\}\}$

Answer 1

$A\in \tau$ olsun. Amacımız (baz tanımı gereği) $A$ kümesinin, $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermek.

• $A=\emptyset$ olsun.

Boşkümeyi $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazmak kolay. $\mathcal{A}=\emptyset$ alınırsa hem $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$ koşulu hem de $\emptyset=\cup\mathcal{A}$ koşulu sağlanır.

• $A\neq \emptyset$ olsun.

$\emptyset\neq A\in\tau$ olmak üzere her $x\in\mathbb{R}$ için $x\in A$ ise $0\in A$ olduğundan $x\in A$ ise $\{0,x\}\subseteq A$ olacaktır. Dolayısıyla

$\mathcal{A}:=\{\{0,x\}|x\in A\}\subseteq \tau$

alırsak

$A=\cup\{\{0,x\}|x\in A\}=\cup\mathcal{A}$

olacağından herhangi bir açık kümenin $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini görmüş oluruz. O halde $\mathcal{B}$ ailesi, $\tau$ topolojisi için bir bazdır.