Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
185 kez görüntülendi
$f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
0 & xy\neq 0\\
1 & xy=0
\end{matrix}\right.$

İki değişkenli fonksiyonlar üzerinde çalışıyorum. Bu fonksiyonun $(0,0)$ noktasında sürekli olup olmadığını incelemek istiyorum.
Lisans Matematik kategorisinde (133 puan) tarafından  | 185 kez görüntülendi
Normalde bu tip parçalı fonksiyonlar üzerinde çalışırken izlediğim standart prosedür var ama bu soru ona uymuyor
Standart prosedür ne? Belki onu yazarsan, oradan devam etmene yardımcı olabiliriz. (Belki).
Yanda şöyle bir soru gözülüyor. $f(x,y):=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} & , & (x,y)\neq (0,0) \\ \\ 0 & , & (x,y)=(0,0) \end{array}\right.$

Bu $(0,0)$'da sürekli. Çünkü, $f(0,0)= lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0$

Hatta bu limiti kutupsal dönüşümle hesapladım ($x=rcost,y=rsint$)
Çok değişkenli fonksiyonların limitleri incelenirken çok kullanılan bir yöntem var, onu düşündünüz mü?
Çok değişkenli fonksiyonları hesaplarken bilhassa limitin olmadığını gösterirken $x=0$ boyunca daha sonra $y=0$ boyunca bakıyorum. Sonrasında bir şey elde edemezsem, $y=x$ boyunca yaklaşıyorum ve böyle devam ediyorum

Yukarıdan sonuç alamazsam kutupsal dönüşüm kullanıyorum.

Doğan hocam bahsettiğiniz yöntemi biraz daha detaylandnırabilir misiniz?
Son yorumda yazdıklarını bu fonksiyon için yaptın mı?
$x=0$ boyunca $lim f(x)=1$, aynı durum $y=0$ için de geçerli:

$x=y$ boyunca $lim f(x)=0$ oluyor eğer $x\neq 0$ ama ya $x=0$ olursa? O durum kafamı karıştırdı.
  1. Buradaki $\lim$ simgesinin altında (ya da sağ altında) bir şeyler daha olması gerekmiyor mu?
  2. (bir değişkenli fonksiyonlarda) limit tanımını yazabilir misin?

(iki soru arasında bir ilişki var)

$x=0$ boyunca $lim_{y\to 0}f(x)=1$ demek istemiştim. Aynı durum $y=0$ içinde geçerli, limitin altında $x\to0$ olacak
2. sorunun cevabı, senin (daha önceki yorumundaki)  soruna cevabı içeriyor.
Pardon, limitin tanımını eklemeyi unutmuşum.

$f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki limiti $L$ olsun.     

$\lim_{x\to x_0} f(x)=L \iff $ $\forall \epsilon >0 \exists \delta>0$ st $|x-x_0| < \delta \to |f(x)-L|<\epsilon$

Bu tanımda, önemli bir eksik var.

Tek boyuttaki limitin tanımını yazmaya çalıştım
$\forall x\in \mathbb{R}, |x-x_0| < \delta \to |f(x)-L|<\epsilon$

Ben de onu istemiştim.

Bu tanımda, çok önemli bir eksik var.

Yukarıya yazdığıma göre $0< |x-x_0| < \delta$ ifadesi yok. Benim düşüncem şu şekildeydi, mutlak değerin sonucu sıfırdan büyük olacağından(tabi belki eşitte olabilir) yazmamıştım. Dediğiniz eksik bu muydu?

Evet. Bu da senin

"$x=y$ boyunca $\lim f(x)=0$ oluyor eğer $x\neq0$ ama ya $x=0$ olursa? "

sorunua cevap olmuyor mu?

EK: Orada, mutlak eğerin 0  olması durumu çok önemli.
$(0,0)$ noktası hariç $y=x$ boyunca limit $0$. (Burası ekstra: $f(0,0)=1$ olduğundan $(0,0)$ noktasında süreksiz.)

Son kısmı anlamayamadım, nasıl soruma cevap verdiği kısmı. Yukarıya göre, $x=0$ yazdığımda elimde bu oluyor $ \to 0<|0-x_0|<\delta$

$0<|x-x_0|$ eşitsizliğinin varlığı şu anlama geliyor:

$x=x_0$ iken $f$ nin değeri (olmayabilir, varsa bile) ile ilgilenmeyeceğiz.

Tamamdır. Bundan dolayı, o zaman $x=y$ boyuncadaki limite gönül rahatlığıyla $0$ diyebilirim
19,559 soru
21,280 cevap
71,630 yorum
33,410 kullanıcı