$$d_1:(\mathbb{R}\setminus\{0\})^2\to\mathbb{R}, \ d_1(x,y):=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|$$ metriği ile $$d_2:(\mathbb{R}\setminus\{0\})^2\to\mathbb{R}, \ d_2(x,y):=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x=y \\ 1 & , & x\neq y \end{array}\right.$$ metriğinin topolojik denk OLMADIĞINI gösteriniz.

Question

$$d_1(x,y):=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|$$  kuralı ile verilen $$d_1:(\mathbb{R}\setminus\{0\})^2\to\mathbb{R}$$  metriği ile  $$d_2(x,y):=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x=y \\ 1 & , & x\neq y \end{array}\right.$$  kuralı ile verilen  $$d_2:(\mathbb{R}\setminus\{0\})^2\to\mathbb{R}$$ metriğinin topolojik denk OLMADIĞINI gösteriniz. 

 

NOT: Buradan da ilgili sorudaki metrikler ile bu sorudaki metrikler göz önünde bulundurulduğunda bu metriklerin hangi küme üzerinde tanımlandıklarına dikkat ediniz.

Answer 1

Ikinci metrik uzayda her $x$ elemanı için yarıçapı $1/2$ olan açık yuvar

$$\{ y : d_2(x,y)<1/2\}$$

tek elemanlı $\{x\}$ kümesine eşit. Dolayısıyla, tek elemanlı kümeler açık kümeler. Ancak bu ilk metrik uzay için geçerli değil. 

İlk metrik uzayda $1$'in komşuluklarına bakalım. Her $0<r<1$ için 

$$\{y : d_1(1,y) < r \} $$

açık yuvarını inceleyelim.

$$\begin{align*}d_1(1,y)<r &\iff \left| 1 - \frac{1}{y}\right|<r \\ &\iff -r < 1 - \frac{1}{y} < r \\ &\iff -r-1 < -\frac1y< r-1 \\ &\iff 1-r <\frac1y  < 1+r \\ &\iff \frac{1}{1+r} < y <\frac{1}{1-r}\end{align*} $$

Bu cebirsel manipülasyonun tek amacı şuydu: Hangi $r>0$ sayısını alırsak alalım, $r$ yarıçaplı açık yuvar sonsuz sayıda eleman içerir. Yani tek elemanlı bir kümenin altkümesi olamaz. Başka bir deyişle

$$\{y : d_1(1,y) < r \} \subseteq \{1\} $$

olacak şekilde bir $r>0$ bulamayız. Dolayısıyla tek elemanlı $\{1\}$ kümesi $d_1$ metriğine göre açık bir küme değildir.

Şimdi diyelim ki birinci metrik uzaydan ikinci metrik uzaya giden birebir ve örten bir $f$ fonksiyonu olsun. Kolaylık olsun diye $b=f(1)$ koyalım. Dolayısıyla $\{b\}$ tek elemanlı açık kümesinin önimgesi tek elemanlı açık olmayan $\{1\}$ kümesi. Demek ki $f$ sürekli bir fonksiyon değil. Yani ilk metrik uzaydan ikinci metrik uzaya giden birebir ve örten hiçbir fonksiyon sürekli olamaz. 

Comments

$f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\},\ f(x)=\frac1x$ dönüşümü $(\mathbb{R}\setminus\{0\},d_1)$ ile $(\mathbb{R}\setminus\{0\},|\ |)$ ($|\ |$:mutlak değer metriği) arasında bir izometridir. Dolayısıyla iki topolojik uzay homeomorfiktir. $(\mathbb{R}\setminus\{0\},\ \mathbb{R}$ nin (alışılmış topolojiye göre) açık alt kümesi olduğundan, (boş olmayan) açık alt kümeleri (sayılamaz) sonsuzluktadır.