Max Min problemi

Question

$a^2$+3ab+5$b^2$=80 ise a.b'nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Aritemetik ortalamanın Geometrik Ortalamaya eşitleme yöntemi ile bir çözümü mevcut fakat Türevli çözümüne hala ulaşamadım.

Comments

Ortalamalar yolu ile çözümünüzü bizimle paylaşmanız mümkün mü acaba?

---

Soru çok meşhur bir sorudur.ODTÜ Lys hazırlık kitabından.

---

Cevap 10 değil sizin aşağıdaki çözümünüzde görüldüğü gibi 9. 

Çünki A.O.$\geq$G.O. da eşitlik olması için bu üç sayının eşit olması gerekiyor ama bu imkansız.

Answer 1

Lagrange carpani: $F(a,b,z)=(ab)+z(a^2+3ab+5b^2-80)$.

Bu yontem bu tarz sorular icin cok uygun. Fonksiyonla verilen bir deger kumesi uzerinde baskabir fonksiyonun max-min degerini bulmak icin. Tanimi da (yukarida gozuktugu gibi) cok dogal.

$F_a=b+z(2a+3b)$
$F_b=a+z(3a+10b)$
$F_z=a^2+3ab+5b^2-80$                   (dogal olmasinin sebebi)

Simdi geriye kalan bunlarin ortak cozumunu bulmamiz lazim, burdaki $(x,y)$ ikilileri bize maksimum ve minimum degerlerini verecek.

Comments

https://tr.wikipedia.org/wiki/Lagrange_%C3%A7arpan%C4%B1

---

Çok teşekkür ederim daha önce hiç görmediğim bir yöntem ,Rica etsem uygulamalı olarak gösterebilir misiniz?

---

soruyu biraz duzenledim. wikipedia'dan da biraz okuyabilirsin.

Answer 2

$(a-\sqrt{5}b)^2\geq0$ olduğuna göre bunu açarsak.

$a^2-2\sqrt{5}ab+5b^2\geq0$ Köklü ifadeyi karşıya atıp her iki tarafa $3ab$ eklersek.

$a^2+3ab+5b^2\geq3ab+2\sqrt{5}ab$ gelir.Sol tarafın değerini bliyoruz.

$80\geq ab.(3+2\sqrt{5})$ ise $\frac{80}{3+2\sqrt{5}} \geq ab$ gelir.

Answer 3

a^2 + 3ab +5b^2 = 80

 

F= a.b nin 

 

yani F= (1/3) (80 -a^2-5b^2) en büyük değerini bulacağız.

 

F lerin  a'ya göre türevlerini alalım.

 

F '(a) = 0

b + a.b' = 0  ve

 

2a +(3b +3ab')  +10bb' = 0        

 

Bu iki denklemde b' yok edilirse

 

 5b^2  = a^2  elde edilir.

 

Bu değer, F= (1/3) (80 -a^2-5b^2)  fonksiyonunda  yerine konulursa,

istenen değer bulunur.

Comments

Bu yöntemi çok denedim ama buradan doğru sonuç çıkmıyor.

---

Bu çözüm doğru sonuç veriyor 

(10 doğru cevap değil, 10 sadece $ab$ çarpımı için bir üst sınır. A.O.$\geq$ G.O. eşitsizliğinde eşitliğe ancak tüm sayılar eşit iken ulaşılır. Burada, $a^2,3ab,5b^2$ sayılarının eşit olması mümkün değil)

Önceki çözümde bir aritmetik hata vardı onu düzeltiyorum:

$a^2=5b^2$ eşitliği $ab$ yi maksimum (veya minimum) noktasında sağlanmak zorunda.

Bunlar $a^3+3ab+5b^2=80$ eşitliğinde yerine konduğunda $a^2=\frac{80}{2+\frac3{\sqrt5}}$ bulunuyor.

(Maksimum ve minimum noktalarında) $ab=\pm\frac{a^2}{\sqrt5}$ oluyor.

Elbette $\frac{a^2}{\sqrt5}$ maksimum değer olacaktır. O da, $\frac{80}{2\sqrt5+3}\approx9,1$ olduğundan $ab$ nin en büyük tamsayı değer 9 olur.