Hacmi maksimum olan kutunun boyutlarını bulunuz

Question

Posta idaresi, postaya verilecek kutuların şekilde görüldüğü gibi uzunluğu ile çevre uzunluğunun toplamı $300$ cm'yi geçmeyecek biçimde olmasını istemektedir. Bu koşulları sağlayan ve hacmi maksimum olan kutunun boyutlarını bulunuz.

Bu soruyu $A.O\geq G.O$ eşitsizliğini kullanarak rahatça çözebiliriz. Fakat Lagrange çarpanı yöntemi ile nasıl çözebiliriz?

Comments

güzel soru not ettim:)

---

Aslında $f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$ yönteminden gelir gibi ama Lagrange ile nasıl yapılır bilemem.

---

$2x+2y+z=300$ ($z$:uzunluk) koşulu altında $xyz$ yi maksimum yapmak.

---

Orasi malum. Uc degiskenli fonksiyonlarda da iki degiskenlide yaptigimizi yapabiliyor muyuz?

Answer 1

Maksimize etmemiz gereken: $xyz$.
Elimizde olan: $2x+2y+z-300=0$.

$L(x,y,z,\lambda):=xyz-\lambda(2x+2y+z-300)$ olarak tanimlayalim. 

Sirasi ile $L$ fonksiyonunun $x,y,z,\lambda$ degiskenlerine gore turevleri $$yz-2\lambda$$ $$xz-2\lambda$$ $$xy-\lambda$$ $$2x+2y+z-300$$ olur. Bunlari ortak cozersek ($x,y,z>0$) ilk ucu ($\lambda\ge 0$ icin) $$x=y=\sqrt{\lambda} \text{ ve } z=2\sqrt{\lambda}$$ olmasi gerektigini verir. Son esitlikte bunu uygularsak $$\sqrt{\lambda}=50$$ olur ve bu da bize $$x=y=50 \text{ ve } z=100$$ olur.

Comments

Tesekkurler hocam.